2.2 Содержание занятий математического кружка в 5-ом классе
Занятие №1.
«Цифры у разных народов».
Рассказать об арабской и римской нумерации. В ходе беседы решить задачи:
1. Записать арабскими цифрами: ХХV, CХIV, XCII, MMDLXXI.
2. Записать римскими цифрами: 37, 92, 2164, 3068, 4527, 183693.
3. В данных неверных равенствах переложить по одной «спичке», чтобы все равенства стали верными:
а)VI- IV=IX; б) VI-IV=XI; в) VI+IV=XII; г) X+X=I; д) X-IX=VI; е) VIII+IV=XVII; ж) IV-I+V=II; з) X=VII-III.
4. Фокус: (отгадывание задуманного числа)
Задумайте любое число, умножьте его на 2, прибавьте 1, полученный результат увеличьте в5 раз, вычтите 4, умножьте на 2. Что у вас получилось? (Если от названного числа отнять 2, а затем полученное число разделить на 20, то получим задуманное число.)
5.На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки: а)MDCCCCV б) MDCCCLXXXXIX
В каком году построен каждый дом?
Домашнее задание:
v Запишите арабскими цифрами числа: XXXIV; XXIX; CDXXI; CMIII.
v Запишите римскими цифрами числа: 49; 574; 1147; 1974; 5003.
v Этот греческий храм построен из 11 спичек. Требуется переложить 4 спички так, чтобы получилось 15 квадратов.
Занятие №2.
« Поиски закономерностей».
1. Найдите правило нахождения числа, помещенного в окошке чердака. Вставьте число в свободное окошко.
2. Найдите число на «голове».
3. Вставьте пропущенное число, если числа в табличках составлены по одному и тому же закону.
11 12 15 16 14 6 15 7 ? 8 10 7
4. Игра «Стертая цифра».
Участникам игры предлагается написать какое-нибудь многозначное число, например 6745693, а затем переставить в нем цифры любым образом, например 5937466. Найти разность полученных чисел, в данном примере:
В полученной разности предлагается стереть одну из цифр (кроме нуля) и подсчитать сумму оставшихся цифр, по которой ведущий и угадывает стертую цифру. Например, в рассматриваемом примере решили стереть цифру 7, тогда 8+0+8+2+2=20. Далее, ведущий от 27 отнимает 20 и получает зачеркнутую цифру.
Домашнее задание:
v Найдите правило составления последовательности чисел и вставьте вместо звездочки пропущенное число: 5; 14; 41; 122; * ; 1094.
v Найдите правила размещения чисел в полукругах и вставьте недостающие числа:
v Впишите недостающие числа в таблицу:
2 6 12 20 30 42
Занятие №3.
«Решение уравнений»
1. 4х + 5 = 7х - 4;
2. 5а – 7 = 3а – 1;
3. 4(у + 2)= 3(3у - 4);
4. Игра «Лесенка». Каждый играющий получает карточку, на которой нарисована лесенка, в строчках ее по две клеточки. По сигналу ведущего все играющие пишут любое двузначное число на верхней ступеньке. Затем сносят последнюю цифру написанного числа в следующую строчку по вертикали. К снесенной цифре приписывают вторую цифру так, чтобы получилось нечетное число. Затем опять сносят последнюю цифру по вертикали в следующую строчку и приписывают одну цифру так, чтобы полученное вновь число делилось на 3, далее на 4, на 5 и т.д до 10. Выигрывает тот, кто первым правильно закончит «лесенку».
Домашнее задание:
v Решите уравнение: 5х +3х – 2 = 2(3х + 5);
v Решите уравнение: 8(х+3) = 75 – (х-3);
v Составьте условие задачи, которая решалась бы с помощью уравнения: 4(х-5)=3х-2. Решите её.
Занятие №4.
«Решение задач с помощью уравнения»
1. На одной чаше весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чаше- 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?
2. Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: «Если к половине моих лет прибавить 12, то узнаешь, сколько мне было 12 лет назад». Сколько лет отцу?
3. Витя задумал двузначное число, в котором цифра десятков в 2 раза меньше цифры единиц. Если цифры в этом числе переставить, то полученное обращенное число будет на 36 больше задуманного. Найти задуманное Витей число.
4. Игра: пройдите все незаштрихованные клетки квадрата так, чтобы ни в одной не побывать дважды и вернуться к начальной клетке. Обход начните с клетки, в которой стоит крестик. По диагонали ходить нельзя.
5. У Володи и его отца сегодня день рождения. Отец старше сына ровно в 11 раз. Через 6 лет он будет старше сына только в 5 раз. Сколько лет сыну и сколько отцу?
Домашнее задание:
v Турист проехал поездом, на автомобиле и на велосипеде всего 900 км. На автомобиле он ехал со скоростью 45 км /ч, на велосипеде – 15 км /ч. Поездом он проехал на 90 км больше, чем на велосипеде. Сколько часов турист ехал на автомобиле и сколько на велосипеде, если путь, пройденный им на автомобиле, вчетверо больше пути, пройденного на велосипеде?
v Библиотекой куплено на равные суммы несколько одинаковых книг по математике и одинаковых – по литературе. Известно, что книг по литературе на 20 меньше, чем по математике. Сколько куплено тех и других книг, если одна книга по литературе стоит 63 руб., а одна книга по математике – 35 руб.?
v В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором – на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Занятие №5.
«Геометрические головоломки».
1. (Домашняя заготовка: вырезаны 16 одинаковых квадратов четырех цветов – по 4 квадрата каждого цвета). Сложите из них квадрат 4 на 4 так, чтобы одинаковые цвета не повторялись:
a) ни в строчках, ни в столбцах;
b) ни в строчках, ни в столбцах, ни по диагонали.
Зарисуйте решения в тетрадь, используя цветные карандаши или фломастеры.
2. На четырех квадратах каждого цвета напишите цифры 1, 2, 3, 4. Сложите теперь квадрат 4 на 4 так, чтобы одинаковые цифры и одинаковые цвета не повторялись ни в строках, ни в столбцах, ни на диагоналях квадрата.
3. Из спичек построен дом. Переложить две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.
4. Из 10 спичек сделан ключ. Переложить в нем 4 спички так, чтобы получилось три квадрата.
5. Имеются 4 куска проволоки длиной 18 см каждый. Как из них сделать каркасную модель параллелепипеда с размерами 8 см, 4 см и 6 см, не разрезая этих кусков проволоки?
Домашнее задание:
v На коврике изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать коврик на 7 частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.
v Не отрывая карандаш от бумаги и не обводя дважды один и тот же участок, вычертить фигуру изображенную на рисунке.
Занятие №6
«Сообщения о великих математиках».
Процесс работы над докладом состоит из следующих этапов:
1. выбор темы;
2. составление плана доклада;
3. определение источников, литературы и знакомство с ними;
4. обработка и систематизация собранного материала;
5. написание доклада.
Занятие №7
«Площади и объемы».
1. У Маши был аквариум, основание которого – квадрат со стороной 24 см; уровень воды в нем достигал 36 см. Купили новый аквариум длиной 36 см, шириной 24 см. Маша перелила воду в новый аквариум. Определите уровень воды в новом аквариуме.
2.Из листа бумаги, размер которого 950 на 1200 мм2 можно вырезать или квадраты со стороной 64 мм, или квадраты со стороной 46 мм.Какие квадраты надо вырезать, чтобы получилось меньше отходов?
3. Прямоугольный параллелепипед, длина которого 4 см, ширина 3 см, высота 2 см, покрасили со всех сторон и разрезали на кубические сантиметры. Сколько получилось кубических сантиметров, у которых покрашена одна грань, две грани, три грани?
4.Витя Верхоглядкин начертил квадрат и нашел его периметр и площадь. Получилось Р=20 см, S=36 см2. Верно ли он посчитал?
5.В одной старинной математической рукописи шутливо обсуждалась возможность асфальтирования дороги для муравья: длиной 100 км и шириной 1 мм. Сможете ли вы найти площадь этой дороги?
Домашнее задание:
v Разрежьте прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.
v Объем деревянного бруска 80 см3, ширина 4 см, высота 2 см. Длину этого бруска уменьшили на 3 см. Определить объем оставшейся части.
v Васе купили аквариум в форме куба, вмещающий 64 л воды (1 л = 1 дм3 ). Вася наполнил аквариум водой, не долив 5 см до верхнего края. Сколько литров воды он налил в аквариум?
Занятие №8.
«Логические задачи»
1.Милиционер обернулся на звук бьющегося стекла и увидел четырех подростков, убегающих от разбитой витрины. Через 5 минут они были в отделении милиции. Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что виноват Сергей. Сергей заверял, что Виктор лжет, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснилось, что лишь один говорил правду. Кто разбил стекло?
2.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?
3.Игра «Хоп!». Играющие по очереди называют последовательные числа натурального ряда, но вместо чисел, делящихся на 3 и оканчивающихся на 3, должны говорить «хоп!». Тот, кто ошибся, выбывает из игры, а остальные продолжают играть.
4.Лёня, Женя и Миша имеют фамилии Орлов, Соколов и Ястребов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Женя, Миша и Соколов члены математического кружка, а Миша и Ястребов занимаются музыкой.
Домашнее задание:
v Для Вани, Толи и Миши есть три пирога: с рисом, с капустой и яблоками. Миша не любит пирог с яблоками и не ест с капустой; Ваня не любит пирог с капустой. Кто что ест?
v Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли были одного из тех же трех цветов. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
v Поспорили три мудреца – кто из них самый мудрый. Пришли они к четвертому мудрецу с просьбой их рассудить. Подумал четвертый мудрей и предложил им такое испытание: «У меня есть 5 колпаков – два белых и три черных. Мы зайдем в темную комнату, я надену на ваши головы по колпаку. Затем мы выйдем из этой комнаты, и, кто первый определит цвет своего колпака, тот самый мудрый из вас». Согласились мудрецы и сделали все, как договорились. Через некоторое время один из них воскликнул: «На мне черный колпак!». Как рассуждал самый мудрый из мудрецов?
Занятие №9.
«Обсуждение олимпиадных задач»
1.Я задумал число, отнял от него 16, умножил результат на 4, разделил на 7. От 144 отнял полученное частное. 288 разделил на полученную разность, прибавил 195, получил 198. Какое число я задумал?
2.Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стер все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство: AB CD=MLNKT
Докажите, что ученик ошибся.
3.Баба Яга поставила на дверь кодовый замок. На замке нужно расставить девять разных цифр (1,2,3,4,5,6,7,8,9) так, чтобы получившиеся равенства были верными.
: = - = 3 + = 1
4.Незнайка начертил три прямых линии и отметил на них 6 точек. Оказалось, что на каждой прямой он отметил 3 точки. Покажите, как он это сделал.
5.Запишите все отрезки, изображенные на рисунке. Сколько получилось всего отрезков?
6.Четыре мальчика выбирали водящего с помощью считалки. Тот, на кого падало последнее слово, выходил из круга, и счет повторялся заново. Считающий мальчик каждый круг начинал с себя и в результате стал водящим, причем счет каждый раз кончался перед ним. Какое наименьшее количество слов могло быть в считалке?
7.Имеются 4 чемодана и 4 ключа к ним. Но ключи перемешались. Сколько испытаний в худшем случае надо сделать, чтобы подобрать для каждого чемодана ключ?
Домашнее задание:
v Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй – 1 кружку, а у третьего крупы не было. Они съели всю кашу поровну. Третий охотник и говорит: «Спасибо за кашу! - и вот вам задача: Я даю вам 5 патронов. Как поделить эти патроны в соответствии с вашим вкладом в мою порцию каши?»
v В школе изучают три иностранных языка: английский, немецкий и французский. Каждый ученик в классе изучает 2 языка. Английский язык изучают 19 человек, немецкий – 8, французский – 11. Сколько учеников в классе?
v На доске 5 на 5 клеток расставьте фишки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце стояли ровно три фишки. В одной клетке может стоять только одна фишка.
Занятие №10
«Задачи на части».
1. Два дня пионеры собирали лом, причем того, что собрано в первый день, равна того, что собрано во второй день; во второй день собрано на 690 кг больше, чем в первый. Сколько килограммов лома собрано в каждый из этих дней?
2. Когда велосипедист проехал пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?
3. Игра « оттесни шашку ». В крайних клетках полоски 1 на 20 стоят белая и черная шашки. Двое, по очереди, передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто побеждает при правильной игре - первый или второй?
4. В классе число отсутствующих учеников составляет часть от числа присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников в классе?
5. Два крестьянина вышли из деревни в город. Когда прошли пути, они сели отдохнуть. «Сколько нам еще осталось идти?» - спросил один попутчик другого. «Нам осталось на 12 км больше, чем мы прошли»,- был ответ. Каково расстояние между городом и деревней?
Домашнее задание:
v Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проехал спящим ?
v На собрании присутствуют около 80 школьников. Треть из них – девочки, половина которых учится в 6-м классе. Из присутствующих мальчиков не учатся в 6-м классе. Сколько учащихся 6-го класса присутствуют на собрании?
v Решив все сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, помещик составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и часть остатка; следующий – 2000 руб. и нового остатка; третий сын – 3000 руб. и часть третьего остатка » и т.д. Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
Занятие №11
«Десятичные дроби».
Соревнование: (выигрывает тот, кто набирает больше баллов).
Ø Что легче: 0,3 килограмма железа или 0,3 килограмма ваты?
Ø Восстановите координатный луч, т.е отложите на нем единичный отрезок.
Однажды учитель предложил Вите Верхоглядкину сравнить дроби 0,31 и 0,6. «Это очень просто, - начал Витя. – Целые части этих дробей равны. Сравним дробные части: 31 больше 6, значит, и 0,31 больше чем 0,6». Согласны ли вы с таким решением?
Ø Некоторое число удовлетворяет одновременно трем неравенствам. Найдите его:
2,11< <2,5;
2,4 < <2,72;
2,39< <2,42.
Ø В некоторой десятичной дроби все цифры одинаковы. Какое это число, если оно больше 2,21, но меньше 2,221?
Ø Найдите ошибку:
a) 3,27 3,3;
b) 2,99 3,0;
c) 12,34 12,3;
d) 0,75 0,7;
e) 8,18 8,2.
Ø Все числа: 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4 обладают одной особенностью, связанной с округлением чисел. Какой?
Ø Витя задумал число. Сначала он округлил его до десятых, получилось 6,4. Потом он округлил задуманное число до целых, получилось 7. Не ошибся ли он?
После подсчета баллов объявляются победители первых трех призовых мест и им вручаются небольшие сувениры.
1. Три друга – Коля, Витя, и Миша – решили купить шайбу, которая стоит 1 рубль. У Коли и Вити было по 0,25 руб., а у Миши – 0,45 рублей. Будут ли они вечером играть в хоккей?
2. Вместо звездочек поставьте знаки «+» или «-» так, чтобы равенства были верными: а) 5,5 * 1,9 * 2,6 =1;
б) 7,9 * 3,4 * 4,2 = 7,1;
в) 6,1* 13,5 * 12,4 =5.
Домашнее задание:
v Вместо квадратиков запишите такие десятичные дроби, чтобы равенства оказались верными:
v Даны числа: 0,8; 1,6; 2,9; 3,7. Разность двух из них равна одному из оставшихся чисел. Запишите это равенство.
v В трех пакетах содержится 1,5 кг крупы, причем массы первого и второго пакетов составляют вместе 1,3 кг, а второго и третьего – 0,9 кг. Сколько крупы в каждом пакете?
Занятие №12
Математический час по теме « Десятичные дроби».
Девиз: Знания имей отличные по теме: «Дроби десятичные».
Весь класс разбивается на две команды.
1.Соревнование «Думай и соображай».
Задачи предлагаются всему классу. Отвечает тот, кто первый поднял руку. За правильное решение – 5 баллов. Эти баллы выставляют в таблицу той команде, в которой состоит ученик, решивший задачу.
a) Между числами 5,2 и 5,3 поставьте число, большее 5,2 и меньшее 5,3.
b) Даны числа: 0,3 ; 7,7; 0,125. Поставьте между ними такие знаки, чтобы в результате выполнения указанных ими действий получилась 1.
c) Найдите устно значение выражения: (13- 2,46 : 3,54) (0,5- ).
d) Некоторое число удовлетворяет одновременно трем неравенствам. Найдите его:
e) 3,5 < < 4,1;
3,7< < 4,0;
3,6 < < 3,9.
2. Игра « Заполни клетку».
Две команды получают листочки, текст которых приведен ниже.
Правило заполнения клеток состоит в том, что ответ предыдущего действия становится в первую клетку следующего. Первый участник команды вычисляет первый пример и передает карточку следующему участнику команды и т.д. Выигрывает та команда, которая быстрее и правильно заполнит карточку.
(У первой команды ответ 20, а у второй – 3).
3. Игра «Сравни дроби».
На доске прикреплены две таблицы (по одной для каждой команды). В каждой клетке написана десятичная дробь. Дроби в таблицах одинаковы, но расположены по-разному.
0,3 2,06 5,4
1,48 0,08 0,29
5,39 2,1 1,5
0,08 1,48 1,48
1,5 1,5 0,3
5,4 2,06 2,1
Учащимся предлагают в течение одной минуты рассмотреть числа в таблице, мысленно располагая их в порядке возрастания. Затем учащиеся в командах выстраиваются друг за другом. По знаку ребята, стоящие в команде первыми, бегут одновременно к таблицам и указывают на них самое маленькое число. Каждый следующий игрок указывает большее число. Он выбегает тогда, когда предыдущий возвратится и встанет в конец строя.
Начисление баллов идет по двум критериям: кто быстрее?, кто без ошибок?.
Итог математического часа подводит учитель. Объявляется команда победителей. Вручаются призы. В качестве выигрыша могут быть чертежные инструменты, недорогие, но необходимые учащимся принадлежности, наконец, конфеты, яблоки и т.д.
Домашнее задание:
v Даны числа: 2,67; 3,75; 3,51; 2,43. Сумма двух из них равна сумме оставшихся. Запишите это равенство.
v Масса драгоценных камней измеряется в каратах, причем 1 карат равен 0,2 гр. Геолог нашел два алмаза. Первый – массой 51 карат, а второй – массой 10,1 гр. Какой алмаз ценнее?
v Задумайте две десятичные дроби. Из большего числа вычтите меньшее. Результат запишите. Теперь сложите задуманные числа. Результат запишите. Потом сложите полученные результаты и сумму разделите на 2. Получится одно из задуманных чисел. Объясните почему?
Занятие №13
«Принцип Дирихле»
1.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежат яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
2.Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?
3.В ящике лежали вперемешку 6 белых и 10 голубых носков. Каково наименьшее число носков надо взять из ящика, не глядя в него, чтобы иметь не меньше одной пары носков одного цвета?
4.Семь грибников собрали 100 грибов, причем все грибники собрали разное число грибов. Докажите, что есть трое грибников, которые собрали не меньше 50 грибов.
5.Игра «минус на плюс». В строке написано несколько минусов. Двое, по очереди, переправляют один или два соседних минуса на плюс. Выигрывает тот, кто переправит последний минус. Кто выиграет при правильной игре?
Домашнее задание:
v В классе 30 человек. В диктанте Витя Малеев сделал 12 ошибок, а каждый из остальных – не больше. Докажите, что по крайней мере трое учеников сделали одинаковое количество(быть может, и ноль) ошибок.
v В шкафу лежат вперемешку 5 пар светлых ботинок и 5 пар темных ботинок одинаковых размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (на правую и левую ноги) одинакового цвета?
v Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было бы различным?
Занятие №14.
«Конкурс математических газет».
На данном занятии кружка каждая группа представляет свою газету. Участники, у которых получилась самая интересная, красочная, занимательная газета, получают небольшие сувениры. Оставшуюся часть времени все учащиеся путешествуют по газете-победительнице, разгадывая ее ребусы, головоломки, кроссворды, решая интересные задачи.
Занятие №15
«Арифметика Магницкого».
«Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана …»
Л.Ф. Магницкий.
1. Доклад о Л.Ф. Магницком.
2. Некий человек нанял работника на год, обещав дать ему 12 руб. и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; хозяин дал ему по достоицу расчет 5 руб. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.
3. Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершати на всякий день по 40 верст; потом другий человек и другий день послан в след его и велено ему идти на день 45 верст и ведательно есть, коликий день постигнет второй первого?
4. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?
5. «Математические забавы».
Пронумеровать дни недели, начиная с понедельника по порядку с 1 до 7. Кто-нибудь задумал день. Нужно угадать, какой день он задумал. Угадывающий предлагает выполнить про себя следующие действия:
1. умножить номер задуманного числа на 2;
2. прибавить к произведению 5;
3. умножить сумму на 5;
4. приписать к произведению нуль и назвать результат.
От этого числа угадывающий отнимает 250 и получает номер задуманного дня недели.
Домашнее задание:
v Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занятым. Сколько было скворцов и сколько было деревьев?
v Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
v Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
(гривна – 10 копеек; алтын – 3 коп; полушка- коп.).
Занятие №16
«Мир процентов и среднего арифметического».
1. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания?
2. Рост человека археологи могут определить даже по отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости составляет 22% роста человека, а локтевой кости составляет 16% роста человека.
a) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 39,3 см. Вычислите, каков был рост человека.
b) Как можно доказать, что локтевая кость длиной 20,3 см не могла принадлежать тому же человеку?
3. Сеня купил три пакета орехов, а Саша – 2 таких пакета. К ним присоединился Костя, и они разделили все орехи поровну. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарищам 25 коп. Сколько денег из этой суммы должен получить Сеня и сколько Саша? Сколько стоит пакет орехов?
4. Средний возраст 11-ти футболистов команды 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
5. Фокус «Опять пять!».
Задумайте натуральное число, прибавьте к нему следующее за ним по порядку, добавьте к результату 9, разделите на 2, вычтите задуманное число. «А теперь я знаю, сколько у вас получилось!»- «Сколько?»- «5!».
Домашнее задание:
v Цена входного билета на стадион была 180 руб. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стал стоить билет после снижения?
v У горного барана массой 150 кг масса рогов равна 30 кг. Сколько процентов составляет масса рогов от массы тела: 20% или 25%?
v Трое жильцов готовят обед на одной печи. Жилица – назовем её для удобства Тройкиной – положила в общую печь 3 полена своих дров, жилица Пятеркина – 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 коп. Как должны они поделить между собой эту плату?
Занятие №17
«Викторина».
1. Пассажир такси ехал в село. По дороге он встретил 5 грузовиков и 3 автомашины. Сколько всего машин шло в село?
2. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у сестры его братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?
3. Как провести прямую, пересекающую все три стороны треугольника?
4. Имеется ров шириной 2 метра. Как переправиться через этот ров с помощью двух досок длиной 2 метра?
5. Два поезда одновременно вышли навстречу друг другу, один со скоростью 60 км/ч, а другой со скоростью 50 км/ч. На каком расстоянии будут поезда друг от друга за час до встречи?
6. Стоят шесть стаканов, первые три из них с водой. Как сделать, чтобы пустой стакан и стакан с водой чередовались? Разрешается брать только один стакан.
7. «Загадка». Чем больше из неё берешь, тем больше она становиться. Что это?
8. Человек рассеянный лег спать в 7.00 вечера на улице Бассейной, предварительно заведя будильник на 8.00 с тем, чтобы встать утром. Сколько он часов спал, пока его не разбудил будильник?
9. Что больше – 48,4% от 28 или 28% от 48,4?
10. В коробке 15 шариков: красных, синих и зеленых. Красных шариков в 7 раз меньше, чем зеленых. Сколько в коробке синих шариков?
11. Из 8 колец одно несколько легче остальных. Найти это кольцо не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах.
12. В ящике 70 цветных карандашей: 20 красных, 20 синих, 15 зеленых, 12 желтых, 3 черных. Какое наименьшее число карандашей надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 карандашей одного цвета?
Занятие №18
«Вечер веселых и смекалистых».
Участвуют две команды. Вечер начинается с приветствия команд.
Команда 1:
Этот турнир ждали мы.
По нему стосковались умы.
Дружно будем задачи решать-
Мы хотим математику знать.
Как же нам не веселиться?
Не смеяться, не шутить?
Ведь сегодня на турнире
Мы решили победить!
Команда 2:
Сегодняшний турнир мы выиграть хотим
И просто вам победу не дадим.
Придется попотеть и постараться.
За каждое очко мы будем драться.
Смекалку мы проявим и отвагу
И просим разгадать сию бумагу.
А если вдруг не повезет? –
Победа всех когда-нибудь найдет.
Команды обмениваются большими свитками из ватмана. Свитки разворачивают и показывают собравшимся. На них большими цветными буквами написаны ребусы. Листы вывешивают на доске. Каждая команда, собравшись в кружок, тихо разгадывает ребусы соперника.
Пока команды трудятся над ребусами, ведущий представляет жюри. Затем ведущий обращается к командам: «Для решения большинства задач недостаточно одних знаний. Необходима ещё и внимательность. С чего начинается решение задачи? Конечно, с условия. Но условие можно читать по-разному: прочтешь невнимательно - вот и утеряна главная ниточка. Проверим, умеют ли команды быстро улавливать условие задачи. Кто из вас быстрее решит задачу Корнея Ивановича Чуковского:
«Шел Кондрат в Ленинград,
А навстречу двенадцать ребят,
У каждого по три лукошка.
В каждом лукошке – кошка,
У каждой кошки – 12 котят,
У каждого котенка
В зубах по 4 мышонка.
И задумался старый Кондрат:
Сколько мышат и котят
Ребята несут в Ленинград?»
Условие кажется очень простым, и некоторые ребята торопятся сосчитать. Ведущий не перебивает их, но затем сообщает, что они плохо выслушали условие и поэтому попали в положение Кондрата:
«Глупый, глупый Кондрат!
Он один и шагал в Ленинград,
А ребята с лукошками,
С мышами и кошками
Шли навстречу ему –
В Кострому».
Разобравшись с Кондратом, ведущий снова обращается к ребусам. Представители команд докладывают о том, в чем они увидели ключ к разгадке. За расшифрованный ребус присуждается 1 балл.
Традиционная часть турнира – веселая рыбалка.
На столе – «озере» разбросаны в разных местах рыбки вырезанные из бумаги и красиво раскрашенные. К каждой рыбке скрепками прикреплена задача. Ребята должны удочкой (палочка и к ней прикреплена нить с магнитом) поймать рыбку. Но ловцы не видят рыбок: с их стороны протянута занавеска. Она загораживает стол от играющих, и они забрасывают свои удочки наугад, как настоящие рыбаки. Рыбки видны болельщикам, которые должны активно помогать своим командам. Если с помощью указаний болельщиков рыбка найдена и её удается подцепить магнитом за скрепки, то удержать не так легко. Требуется осторожность, как при обычной ловле. Наконец, счастливый рыбак держит в руках свою добычу. Ему присуждают 1 балл и дают время для обдумывания задачи. Когда и соперник вытащит рыбку, первый ловец читает вслух свою задачу, сообщает её решение. Если задача решена верно, то ученику присуждают еще 1 балл, если же нет, то он обращается за помощью к команде.
Приведем несколько заданий конкурса «Рыбалка»:
1. Из Москвы в Ленинград вышел поезд со скоростью 50 км/ч, а из Ленинграда в Москву вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Какой из поездов будет дальше от Москвы в момент встречи?
2. Тройка лошадей пробежала 30 км. Какое расстояние пробежала каждая лошадь?
3. Какой знак надо поставить между двумя двойками, чтобы получить число больше двух, но меньше трех?
4. По стеблю растения, высота которого 1 метр, ползет улитка. Днем она поднимается на 4 дм, а ночью спускается на 2 дм. На какой день улитка будет на вершине?
5. Мальчик хочет 30 орехов разложить на три кучки, чтобы в каждой кучке было нечетное число орехов. Что вы ему посоветуете?
6. Книга в переплете стоит 1 рубль 20 коп. Сколько стоит книга, если она на 1 рубль дороже переплета?
7. Арбуз весит 2 кг и еще 2/3 арбуза. Какова масса всего арбуза?
Этот конкурс очень возбуждает и участников, и зрителей. Поэтому ведущий предлагает всем успокоиться и выслушать индусскую притчу, которую любил рассказывать один из создателей Московского художественного театра Константин Сергеевич Станиславский.
Магараджа выбирал себе министра. Он объявил, что возьмет того, кто пройдет по стене вокруг города с кувшином, доверху наполненным молоком, и не прольет ни капли. Многие ходили, но по пути их отвлекали, и они проливали молоко. Но вот пошел один. Вокруг него кричали, стреляли. Его всячески пугали и отвлекали. Но он не пролил молоко. «Ты слышал крики, выстрелы? – спросил его потом магараджа. – Ты видел, как тебя пугали?» - «Нет, повелитель, я смотрел на молоко».
«Не слышать и не видеть ничего постороннего – вот до какой степени может быть сосредоточено внимание. Каким мощным оно бывает. Теперь мы проверим внимание членов команд»
От каждой команды на очередной конкурс выходят по одному человеку. Начинаются игры на проверку внимания.
Слушай одновременно нескольких.
Двое говорят одновременно два различных слова, а представители команд должны различить, кто какие слова сказал. Затем трое говорят одновременно три разных слова, следом четверо – четыре слова и т.д. Выигрывает тот, кто различил больше слов.
Каждой руке – свое дело.
Играющим дают лист бумаги и в каждую руку по карандашу. Задание: левой рукой начертить 3 треугольника, а правой 3 окружности.
Шагай – соображай.
Участники этого конкурса стоят рядом с ведущим. Все делают первые шаги, и в это время ведущий называет какое-нибудь число, например 7. При следующих шагах ребята должны называть числа, кратные 7: 14, 21, 28 и т.д. На каждый шаг по числу. Ведущий идет с ними в ногу, не давая замедлить шаг. Как только кто-то ошибся, он остается на месте до конца движения другого.
По результатам всех трех игр жюри определяет команду, победившую в конкурсе «Внимание», и указывает, сколько баллов заработала каждая команда (от 1 до 3 баллов).
С большим интересом ребята ждут конкурса капитанов. И вот, наконец, они предстают в единоборстве.
Вопросы капитанам (на размышление – полминуты).
1. В воде оказалась 10-я ступенька пароходной веревочной лестницы. Начался прилив: вода в час поднимается на 30 см. Между ступеньками лестницы 15 см. Через сколько часов вода скроет 6-ю ступеньку?
2. Два в квадрате – 4, три в квадрате – 9. Чему равен угол в квадрате?
3. В семье у каждого из 6 братьев есть по сестре. Сколько детей в этой семье?
Последнее конкурсное соревнование вечера – для болельщиков. Кто быстрее сосчитает?
1. 44 : 4=
44,044 : 44=
4, 444 : 44=
44,4444 : 444=
2. 55 :5=
5,555 : 0,55 =
55,055 : 5,5 =
555,555 : 55 =
Специально не оговаривается, какие баллы жюри может присуждать капитанам или болельщикам. Договариваться об оценках нужно в начале вечера, а в конце его жюри может согласовывать оценки по ходу работы.
В дополнительное время происходят внеконкурсные состязания. Одно из них – «Аукцион пословиц и поговорок с числами». Например: «Одна голова хорошо, а две – лучше»; «Одна рука узла не вяжет; у семи нянек дитя без глазу; хвастуну цена – три копейки» и т.д.
Заканчивается вечер выступлением представителя жюри, который называет победителей и поздравляет их. Можно вручить небольшие сувениры.
Глава 3. Математический кружок в 6-ом классе.
3.1 План занятий математического кружка учащихся 6-х классов и методические рекомендации к ним
Содержание занятий разработано из расчета одно занятие в две недели, что составляет 18 занятий за учебный год.
План занятий математического кружка учащихся 6-х классов:
1) задачи на делимость;
2) признаки делимости на 3 и на 9;
3) признаки делимости на 7, на 11, на 13;
4) прямая и обратная пропорциональность;
5) математические софизмы;
6) решение задач с конца;
7) двоичная система счисления;
8) действия в двоичной системе счисления;
9) другие системы счисления;
10) сложение и вычитание в различных недесятичных системах счисления;
11) умножение и деление в различных недесятичных системах счисления;
12) применение различных недесятичных систем счисления к решению задач;
13) множества; конечные и бесконечные множества; пустое множество;
14) равные множества; подмножества;
15) операции над множествами; пересечение множеств; дополнение к множеству;
16) объединение множеств;
17) решение задач на множества;
18) подведение итогов.
Методические рекомендации к занятиям.
В 6-ом классе рассматривается материал, расширяющий и углубляющий учебную программу: задачи на делимость, признаки делимости на 7,11 и 13, прямая и обратная пропорциональность, математические софизмы, метод решения задач «с конца». Блок занятий посвящен различным системам счисления; блок - теории множеств.
Занятие №2 посвящено углубленному изучению признаков делимости на 3 и 9, занятие №3 расширяет знания учащихся в области делимости и доказывается обобщенный признак делимости на 7, на 11 и на 13. В процессе решения математической задачи полезным является умение осуществлять контроль за правильностью своих действий, а так же умение находить в собственном решении ошибки. Формированию и развитию этих умений способствует рассмотрение математических софизмов. В то же время некоторые парадоксальные выводы, возникшие по причине завуалированных ошибок в решении, вносят в занятия атмосферу легкой интриги и юмора, что полезно для развития интереса к математике. На занятии №5 необходимо еще раз разобрать свойства действий над числами, затем предлагаются арифметические софизмы.
Пример: Найдите ошибку в решении примера
5005 – 2002 = 35 143 – 143 14 ;
5005 - 35 143 = 2002 - 143 14 ;
5(1001 - 7 143 ) = 2(1001- 7 143 ) ;
5 = 2 (?!).
Решение. В задаче – софизме создана только видимость правильного решения, а на самом деле допущена ошибка в применении законов математических действий. Значение выражения (1001 - 7 143 ) равно 0, а на нуль, как известно, делить нельзя.
Можно предложить учащимся в качестве домашнего задания самостоятельно составить софизм, после чего на занятии ребята обмениваются составленными софизмами, пробуют разгадать спрятанные ошибки.
При рассмотрении метода решения задач «с конца» можно поиграть в следующую стратегическую игру в «32», разделив предварительно в группы по два. Правила одной из таких игр достаточно просты: на столе лежат 32 спички, игроки делают по очереди ходы, во время хода каждый может взять одну, две, три или четыре спички. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку.
Учащимся сначала предоставляется возможность поиграть друг с другом несколько партий, а затем ставится прблема: можно ли выбрать стратегию игры таким образом, чтобы непременно выиграть.
Для распознания выигрышной стратегии игры необходимо проиграть ходы в обратном порядке: если своим предпоследним ходом вы оставите 5 спичек, то победа вам обеспечена: сколько бы противник не взял спичек, всегда последний ход остается за вами. Перед этим противнику необходимо оставить 10 спичек: сколько бы противник не взял спичек, он оставит вам не меньше 6 – и всегда можно ему оставить 5. Чтобы противнику пришлось брать из 10, ему необходимо оставить 15 спичек. Далее прибавляя по 5 спичек, получаем, что первый раз противнику необходимо оставить 30 спичек. Получаем следующую стратегию игры: первым ходом берите 2 спички; затем после хода партнера брать столько, чтобы на столе оставалось 25, затем 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Выигрыш всегда будет за вами.
Такие игры возбуждают необычайный интерес у учащихся, можно предложить для самостоятельного решения разобрать стратегию следующих игр:
Ø Игру в «32» можно изменить: тот, кому достается последняя спичка, наоборот, не выигрывает, а проигрывает. Попробуйте разработать стратегию игры, чтобы наверняка выиграть.
Ø Игра в «27». Каждый игрок по очереди берет не более 4 спичек, выигравшим считается тот, у кого окажется четное число спичек. Можно ли в этой задаче рассчитать стратегию так, чтобы начинающий игру выиграл?
На следующих занятиях рассматриваются недесятичные позиционные системы счисления на примере двоичной. Объяснение опирается на исторический и занимательный материал. Для первичного закрепления выполняются задания на перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Вводятся действия сложения и вычитания в двоичной системе счисления. Целесообразно дать возможность учащимся самостоятельно сформулировать правила выполнения этих действий в двоичной системе счисления, по аналогии с десятичной системой счисления. Такое задание можно дать предварительно в качестве домашнего и на занятии разобрать полученные дома результаты, решить несколько примеров на сложение и вычитание в двоичной системе счисления.
При изучении темы «Двоичная система счисления; Действия в двоичной системе счисления» можно предложить следующий способ отгадывания задуманного числа по спичкам: загадавший число мысленно делит его пополам, полученную половину еще раз пополам и т.д (отбрасывая от нечетного числа единицу) – и при каждом делении кладет на стол спичку вертикально, если число четное, и горизонтально, если оно нечетное.
Таким образом, получается некоторая фигура (рис. 1). Посмотрев внимательно на полученную фигуру, вы безошибочно определяете задуманное число. На данном рисунке изображено число 137. Такой рисунок представляет собой закодированную информацию в двоичной системе счисления (рис. 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Вертикальная спичка соответствует 1, а горизонтальная – 0. Остается сложить соответствующие степени двойки. В данном примере имеем: 128+8+1=137. Это и есть задуманное число.
На занятии сначала учитель предлагает учащимся определить, какое число было задумано, если получились схемы (рис. 3, 4).
Рис. 4
А затем учащиеся разбиваются на группы по два и составляют аналогичные задания друг для друга. Можно организовать конкурс на лучшего кодировщика, определив, кто за определенное время лучше всего может отгадывать числа по схеме и наоборот кодировать задуманное число.
Это обучающая, качественная, одиночная, познавательная игра, можно ее провести и как игру – соревнование.
Далее учащиеся знакомятся с действиями умножения и деления в недесятичных системах счисления. Сначала преподаватель объясняет, как выполняются действия в двоичной системе счисления, а затем на примере систем с основанием 3 и 5 учащиеся знакомятся с умножением и делением в других системах счисления. В зависимости от подготовки кружковцев, учитель может предложить им составить таблицы умножения для других систем счисления и самостоятельно вывести правила, по которым выполняются вышеуказанные действия.
При рассмотрении темы «Различные системы счисления» учащимся можно предложить следующее творческое задание:
Учитель в процессе объяснения нового материала предлагает следующую задачу. В бумагах одного чудака – математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками: «Я окончил курс университета 44 лет отроду. Спустя год, 100 летним молодым человеком, я женился на 34 летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых десятую часть приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц».
Далее перед учащимися ставится вопрос: чем можно объяснить странные противоречия в числах этого отрывка? Ребята определяют, что единственная причина кажущегося противоречия заключается в том, что все числа, используемые чудаком – математиком, изображены в недесятичной системе счисления.
Возникает проблема: о какой именно системе счисления идет речь, то есть чему равно основание данной системы?
Если учащиеся не могут сами найти секрет, то необходимо с помощью вопросов направить их поиски к отысканию разгадки, которая заключается во фразе: «спустя год (после 44 лет) 100-летним молодым человеком…». Так как от прибавления единици число 44 преображается в 100, значит, цифра 4 – наибольшая цифра в этой системе, следоватнльно, основанием системы является 5.
После проведенной работы на занятии формулируется задание (оно может быть домашним): составить историю с использованием чисел, записанных в недесятичной системе счисления. Необходимо пояснить, что сюжет историй может быть самым разнообразным, но в тексте должна обязательно содержаться информация, в которой заключен ключ к определению основания системы счисления.
Далее учащиеся знакомятся с понятиями множества, конечного и бесконечного множеств, пустого множества, выполняют несложные упражнения на закрепление этих понятий.
Объяснение нового материала по теме: «Множество. Подмножество. Равные множества» может проходить в процессе игры в слова. Эта игра является обучающей (поскольку, в процессе ее проведения учащиеся знакомятся с новыми понятиями и происходит их закрепление), скоростной (так как целесообразнее проводить ее на время), универсальной (можно использовать эту игру на протяжении всего изучения темы «Элементы теории множеств» при ознакомлении с действиями над множествами), познавательной (учащиеся знакомятся с новыми понятиями, развивается познавательный интерес). Её правила просты: берется какое-то слово, и из букв, входящих в данное слово, составляются новые слова. Возьмем, например, слово «РОСИНКА». Каждое из составленных слов рассмотрим как самостоятельное множество. Вот некоторые из полученных множеств: {С,О,Р,И,Н,К,А}; {К,И,Н,О}; {С,О,Р}. Опираясь на введенные обозначения, учащиеся знакомятся с понятиями равных множеств, подмножества.
На следующих занятиях, используя полученные в процессе игры в слова множества, вводятся понятия пересечения и объединения множеств, дополнения к множеству.
После можно перейти к задачам, в которых используются понятия множества, пересечения, объединения множеств. Перед разбором задач учащимся предлагается попробовать изобразить множество, рассказывается, что многие ученые делали подобные попытки, наиболее удачным оказалось изображение, выполненное Леонардом Эйлером. Его используют до сих пор и называют кругами или схемой Эйлера.
При решении любых задач необходимо учитывать, что «важно поощрять различные способы решения задач, не стремиться навязывать своё решение. Иной раз лучше решить двумя-тремя способами одну задачу, чем одним способом три задачи» [5, с. 8].
3.2 Содержание занятий математического кружка в 6-ом классе
математический обучение педагогический учащийся
Занятие №1.
«Задачи на делимость».
1. Мужичок привез продавать фуки, глюки и друки. Пройдясь по рынку, он решил увеличить им цену, добавив еще по одному нулю, но не в конце, а в середине чисел. В результате цена за один фук увеличилась в 6 раз, за глюк – в 7 раз, а за друк – в 9 раз. Сколько они стали стоить, если первоначальная цена каждого из них была меньше 100 рублей?
2. В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок в корзине?
3. Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8, если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?
4. Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трехрублевыми ассигнациями, Коля – пятирублевыми, а всего они дали в кассу меньше 10 ассигнаций?
5. Докажите, что сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8.
Домашнее задание:
Ø Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов (в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?
Ø Найти наименьшее число, которое делится на 41, а при делении на 39 дает в остатке 24.
Ø Найдите натуральные числа, дающие при делении на 2, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящиеся на 7.
Занятие №2
«Признаки делимости на 3 и на 9».
1. За альбом стоимостью 12 руб., книгу стоимостью 24 руб., 6 коробок карандашей и 9 линеек кассир выбил чек на 202 руб. 85 коп. И хотя покупатель не обратил внимание на стоимость карандашей и линеек, сразу определил, что кассир ошибся. Какое он имел на это основание?
2. Андрей нашел произведение всех чисел от 1 до 11 включительно и записал результат на доске. Во время перемены кто-то случайно вытер три цифры, и в записи осталось число 399*68**. Помогите восстановить цифры, не прибегая к повторному вычислению.
3. Найдите цифры сотен и единиц числа 72*3*, если число делится без остатка на 45.
4. Докажите или опровергните утверждение: «Разность между трехзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9».
5. Игра: Задумайте многозначное число. Найдите сумму цифр этого числа, отнимите ее от задуманного числа, затем в полученном числе зачеркните одну цифру и сообщите все остальные. Я немедленно назову вам зачеркнутую цифру.
Домашнее задание:
Ø Произвольно взято 2 натуральных числа и составлены сумма, разность и произведение их. Докажите, что среди этих 3 чисел по крайней мере одно, кратное 3.
Ø Докажите, что из любых 11 чисел всегда можно выбрать два таких числа, разность которых кратна 10.
Ø Разложите число 75 на два слагаемых так, чтобы большее из них было бы в 3 раза больше их разности.
Занятие №3
«Признаки делимости на 7, на 11, на 13».
1. Если к любому двузначному числу приписать справа число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим четырехзначное число, делящееся на 11 без остатка. Докажите это.
2. Если сумма первой и второй цифр трехзначного числа, у которого одинаковые цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.
3. Разобьем некоторое четырехзначное число справа налево на грани по две цифры в каждой и сложим эти грани. Докажите, что если полученная сумма делится на 11 без остатка, то и испытуемое число кратно 11.
4. Докажите следующий признак делимости на 11: если сумма цифр через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
5. Докажите обобщенный признак делимости на 7, на 11, на 13: Разобьем число на грани по три разряда в каждой, считая справа налево. Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 (или на 11, или на 13), то и данное число делится соответственно на 7 (или на 11, или на 13).
Домашнее задание:
Ø Докажите, что слово ХАХАХА делится на 7, если в нем буквами Х и А обозначены любые цифры. (Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).
Ø Из трех цифр, среди которых нет нуля, образовали все возможные трехзначные числа с различными цифрами. При этом оказалось, что сумма двух самых больших из этих чисел равна 1444. Каковы взятые цифры?
Ø Докажите, что если в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число делится на 11.
Занятие №4.
«Прямая и обратная пропорциональность»
1. Отношение двух чисел равно 1:2, а их разность в два раза меньше их произведения. Найдите эти числа.
2. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет тоже расстояние со скоростью 60 км/ч?
3. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
4. Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 сек. На обратном пути он проехал мост за 30 сек. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
5. Из «Арифметики» А.П. Киселева. Восемь человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?
Домашнее задание:
Ø Отношение двух чисел равно 1:2, а их разность в два раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Ø Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?
Ø Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч. выпьют такой же бочонок кваса?
Занятие №5.
«Математические софизмы».
1.Найдите ошибку в следующем утверждении: «Дважды два – пять».
4:4 = 5:5. Вынесем в каждой части равенства за скобки общий множитель:
4(1 : 1) = 5 (1 : 1). Поскольку 1: 1 =1, имеем 4=5 или 2 2 = 5.
3. Найдите ошибку в доказательстве: С руб. = 10000 С коп.
С руб. = 100 С коп.
1 руб. = 100 коп.
Всякие два равенства можно почленно перемножать. Применим это утверждение к написанным выше равенствам, получим новое равенство:
С руб. = 10000 С коп, что явно неверно.
4.Администратор одной гостиницы решил разместить в 12 одноместных комнатах 13 человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек. Предупредив тринадцатого, что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с первой. В итоге в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек был помещен во второй комнате, четвертый – в третьей, пятый – в четвертой и так далее до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату. Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор представил временному жильцу первой комнаты – тринадцатому клиенту гостиницы. Итак, 12 = 13. Где ошибка?
5.Некто взялся доказать, что дважды три равно четырем, а не шести. Для этого он попросил одного из присутствующих вырезать из плотной бумаги отрезок. Разрезав этот отрезок пополам, - сказал он, - будем иметь один раз 2 Проделав то же самое над одной из половинок, будем иметь второй раз 2, проделав ту же операцию над другой из половинок, получим третий раз 2. Беря три раза по два, мы получили 4, а не 6. В чем заблуждение странного «математика»?
Домашнее задание:
Ø Некто утверждал, что 45 – 45 = 45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 9 до 1):
_9+8+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+8+9
8+6+4+1+9+7+5+3+2
Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из 2, имеем 11 – 9 = 2 и т.д. Теперь нетрудно установить, что 8+6+4+1+9+7+5+3+2 = 45. Итак, 45 – 45 = 45». В чем здесь ошибка?
Ø Попробуйте составить софизм самостоятельно, обосновав при этом замаскированную ошибку.
Занятие №6.
«Решение задач с конца».
1. Медведь с базара плюшки нес,
Но на лесной опушке
Он половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Шел, шел, уселся отдохнуть
И под «ку–ку» кукушки
Вновь половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Стемнело, он ускорил шаг,
Но на крыльце избушки
Он снова пол-остатка съел
И плюс еще полплюшки.
С пустой кошелкою – увы!
Он в дом вошел уныло…
Хочу, чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?
2. В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышли 30, а из второй 40, то людей в комнатах осталось поровну. Сколько человек было в комнате первоначально?
3. В правом и левом карманах у меня всего 35 коп. Если из правого кармана переложить в левый столько копеек, сколько было в левом, то в правом кармане у меня будет на 3 коп. больше, чем в левом. Сколько было у меня в каждом кармане денег первоначально?
4. Мама оставила Тане яблоки на три дня. В первый день Таня съела половину всех яблок и еще пол-яблока. Во второй день она съела половину оставшихся яблок и еще пол-яблока. В третий день она опять съела половину оставшихся яблок и еще пол-яблока, и яблок больше не осталось. Сколько яблок мама оставила Тане?
5. Игра: На столе лежат 15 карандашей. Двое берут по очереди либо1, либо 2, либо 3 карандаша. Проигрывает тот, кому осталось взять 1 последний карандаш.
Домашнее задание:
Ø На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?
Ø 48 спичек разложили на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, - если все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?
Ø Три друга собрали орехи и легли спать. Ночью проснулся первый и съел свою порцию (третью часть). Затем проснулся второй и, ничего не зная о первом, съел третью часть тех орехов, которые остались. Наконец, проснулся третий и, ни о чем не догадываясь, съел третью часть остатка. Наутро оказалось, что осталось 16 орехов. Сколько орехов было с самого начала и сколько съел каждый? Как справедливо разделить оставшиеся орехи?
Занятие №7
«Двоичная система счисления».
1.Составить таблицу двоичной и десятичной систем счисления.
2.Переведите из десятичной системы счисления в двоичную следующие числа:
а) 1510 б) 2710 в) 4910 г) 8710
3.Переведите из двоичной системы счисления в десятичную следующие числа:
а) 1001012 б) 11012 в) 1011012 г) 101102
4.Переведите пример в двоичную систему:
1210 + 2110 =3310
Попробуйте сформулировать правило, по которому в двоичной системе выполняется сложение.
5. Переведите пример в двоичную систему:
3310 – 2110 = 1210
Попробуйте сформулировать правило, по которому в двоичной системе выполняется вычитание.
Домашнее задание:
Ø Переведите из десятичной системы счисления в двоичную следующие числа:
а) 7510 б) 14510
Ø Переведите из двоичной системы счисления в десятичную следующие числа:
а) 10010112 б)1001011112
Ø Переведите примеры в двоичную систему:
а) 2510 + 4810 = 7310
б) 3510 – 1510 = 2010
Занятие №8
«Действия в двоичной системе счисления»
1. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
а) 110012 + 10002 ; б) 111002 + 100112 ;
2. Выполните вычитание в двоичной системе счисления:
а) 10000112 – 1110112 ; б) 1100112 – 11112 ;
3. Выполните действия:
(100112 + 1000012 ) – 101102 ;
4. Выполните умножение и проверьте делением:
а) 11012 112 ; б) 11112 11012 ;
5. Выполните действия:
11012 1012 – 110112 ;
Домашнее задание:
Ø Выполните сложение и вычитание:
а) 101102 + 11112 ; б) 1110102 – 11002 ;
Ø Выполните умножение и проверьте делением:
а) 10012 1012 ; б) 110012 1112 ;
Ø Выполните действия:
(11100012 + 1011102 ) : 1101012 ;
Занятие №9
«Другие системы счисления».
1. Записать правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
2. Переведите десятичное число 415 в двоичную, восьмиричную и шестнадцатеричную системы счисления.
3. Каково самое большое 5-значное число в системе счисления с основанием 3.
4.Переведите числа в десятичную систему счисления:
а) 3148 ; б) А816 ;
5. Число 163 изобразите в двенадцатеричной системе.
Домашнее задание:
Ø Каково самое большое 5-значное число в системе счисления с основанием 8.
Ø Переведите в систему с основанием 4 числа, записанные в десятичной системе:
а) 3510 ; б) 6710 ;
Ø Число 200 изобразите в семеричной системе.
Занятие №10
«Сложение и вычитание в различных недесятичных системах счисления».
1. Составьте таблицу сложения для системы счисления с основанием 6.
2. Составьте таблицу вычитания для системы счисления с основанием 5.
3. Выполните сложение в системе счисления с основанием 6:
а) 34526 + 3426 ; б) 25436 + 32156 ;
4. Выполните вычитание в системе счисления с основанием 5:
а) 21435 – 3345 ; б) 12415 – 3435 ;
5. Выполните действия в системе счисления с основанием 5:
(4342415 + 20345 ) – 42315 ;
Домашнее задание:
Ø Составьте таблицу сложения для системы счисления с основанием 3.
Ø Выполните вычитание в системе счисления с основанием 5:
а) 34215 – 23425 ; б) 42135 - 34205 ;
Ø Выполните действия в системе счисления с основанием 3 :
2123 + (2113 – 1213 );
Занятие №11
«Умножение и деление в различных недесятичных системах счисления».
1.Составьте таблицу умножения для системы счисления с основанием 5.
2. Выполните умножение в системе счисления с основанием 5:
а) 2135 35 ; б) 3415 235 ;
3. Выполните деление в системе счисления с основанием 6:
а) 22026 : 56 ; б) 133436 : 436 ;
4. Выполните действия в системе счисления с основанием 5:
(21045 + 34215 ) : 125 ;
5. Какую цифру надо поставить на место *, чтобы число 21*10213 было четным?
Домашнее задание:
Ø Составьте таблицу деления для системы счисления с основанием 6.
Ø Выполните деление в системе счисления с основанием 6:
а) 134306 :236 ; б) 224246 : 5346 ;
Ø Выполните действия в системе счисления с основанием 6:
(34216 – 24356 ) 236 ;
Занятие №12
« Применение различных недесятичных систем счисления к решению задач».
1. Имеются монеты на сумму 3 рубля. Разложите эти деньги по 9 кошелькам, чтобы можно было уплатить любую сумму до 3 рублей, не открывая кошельков.
2. Простым или составным числом является число: 622 – 1 ?
3. Ученик одной из московских школ на математическом сборе рассказал автобиографию: «Я родился 110 марта 30321 года. В 12 лет я пошел в школу. В 30333 году меня приняли в октябрята, а в 30341 году, когда мне было 14 лет, я стал пионером. Сейчас я учусь в 10 классе, в школе 3234. Учусь я хорошо. Очень часто получаю балл «10». Как объяснить странные числа, использованные в этой автобиографии?
4. При каких целых положительных k число 3 k – 1 делится на 13?
Домашнее задание:
Ø Простым или составным числом является число 421 – 1 ?
Ø Докажите, что ни при каких целых положительных k число 3 k + 1 не делится на 13?
Ø В классе учится 20 учеников: 18 мальчиков и 8 девочек. В какой системе счисления посчитаны ученики? Обоснуйте сврй ответ. Запишите количество мальчиков и девочек в десятичной системе счисления.
Занятие №13
«Множества. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество».
1. Как можно называть множество цветов, стоящих в вазе?
2. Как можно называть множество учащихся, проходящих вместе обучение?
3. Назовите несколько элементов, принадлежащих множествам:
а) целых чисел; б) целых неположительных чисел;
4. Угадайте закон, по которому составлено бесконечное множество и найдите еще два элемента этого множества: { ; ; ; ;…}.
5. В следующих множествах все элементы, кроме одного обладают некоторым свойством; опишите это свойство и найдите элементы не обладающие им:
а) {яблоко, груша, слива, помидор, абрикос};
б) {2,3,5,7,9,11}.
Домашнее задание:
Ø Приведите несколько примеров конечных множеств, бесконечных множеств, пустых множеств.
Ø Угадайте закон, по которому составлено бесконечное множество и найдите еще два элемента этого множества: { ; ; ; ;…}.
Ø В следующих множествах все элементы, кроме одного обладают некоторым свойством; опишите это свойство и найдите элементы не обладающие им:
а) {кот Матроскин, пес Шарик, блудный попугай Кеша, Дядя Федор, почтальон Печкин};
б) {Катя, Маша, Наташа, Лёша, Ира, Лена}.
Занятие 14.
«Равные множества. Подмножества».
1. Даны множества: а) А – множество учебников по математике, стоящих в шкафу на полке; б) В – множество учебников по литературе, стоящих в шкафу на полке; с) С – множество книг, стоящих в шкафу.
Укажите, какие из данных множеств являются подмножествами других множеств?
2. Даны множества: а) А – множество целых чисел; б) В – множество четных чисел; в) С - множество нечетных чисел; г) D – множество отрицательных чисел; д) Е – множество неотрицательных чисел.
Укажите, какие из данных множеств являются подмножествами других данных множеств?
3. Даны множества: а) А – множество чисел, кратных 15; б) В – множество четных чисел; в) С - множество чисел, оканчивающихся пятеркой; г) D – множество чисел, кратных пяти; д) Е – множество чисел, кратных 3 и 5 одновременно; е) F – множество нечетных чисел множ; ж) К – множество целых чисел. Есть ли среди данных множеств равные множества? Укажите, какие из данных множеств являются подмножествами других множеств? Ответы запишите значками.
4. Составьте все возможные подмножества множества Р = {1,3,5}. Запишите соответствующие равенства.
5. Напишите все подмножества множества М, если М = {тетрадь, ручка, карандаш}.
Домашнее задание:
Ø Дано: а) множество всех учеников нашей школы; б) множество учащихся 7 классов нашей школы; в) множество учащихся всех школ Москвы; г) множество учащихся 7 классов, посещающих факультатив по математике; д) множество учащихся всех школ России. Запишите множества в таком порядке, чтобы каждое предыдущее являлось подмножеством другого.
Ø Составьте все возможные подмножества множества А = {2,4,6}. Запишите соответствующие равенства.
Занятие 15.
«Операции над множествами. Пересечение множеств. Дополнение к множеству».
1.Даны множества целых чисел: А = {0,1,2,3,4,5,6,7}; В = {3,4,5,6,7,8,9}; С = {-3,-2,-1, 0,1,2,3,4}; D = {2,3,4,5,6}. Перечислите элементы, входящие в множества А В С D.
2. Множество А состоит из натуральных чисел от 10 до 29, а множество В состоит из целых чисел от 20 до 39. Перечислите элементы множеств А \ В и В \ А.
3. Дан треугольник АВС, координаты вершин которого: А(3 ; 7); В(-6; -2); С(0; 1). Постройте треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно оси ОY, и запишите координаты вершин многоугольника, полученного при пересечении треугольников.
4. В множестве целых чисел найдите дополнение к множеству А, если А={2k+1}.
5. В множестве четных чисел найдите дополнение к множеству А, если А={8k 2}.
Домашнее задание:
Ø А – множество букв в слове «универмаг», В - множество букв в слове «лекторий». Назовите элементы, принадлежащие множеству А В.
Ø Даны множества целых чисел: А = {0,1,2,3,4,5,6,7} и В = {3,4,5,6,7,8,9}. Найдите А В.
Ø В множестве целых чисел найдите дополнение к множеству А, если А={5k}.
Занятие 16. «Объединение множеств».
1. Даны множества С={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} и D={2,3,4,5,6}. Найдите А В.
2. Пусть множество С есть множество букв русского алфавита, входящих в слово «математика», а D – множество букв, входящих в слово «арифметика». Найдите С D.
3.Даны множества целых чисел: М={-1,0,1,2,3,4,5}; N={-2,-1,0,1,2,3}; К={-3,-2,-1,0,1,2}; Р={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. Перечислите элементы, входящие в множества: а) М N Р К; б) (М N) (К Р).
4. Обозначим через К множество учащихся нашего класса; через А – всех учащихся, занимающихся на факультативе по математике; через В – множество учащихся, успевающих на 4 и 5; через С – множествоучащихся, занимающиеся в баскетбольной секции; через D – множество девочек, обучающихся в этом классе. Опишите словами следующие множества:
а) А В С D; б) (А В) (С D).
5. Найдите объединение множеств, k – целое число:
А={3k+1}, В={3k}, С={3k+2}.
Домашнее задание:
Ø Пусть М – множество букв русского алфавита, входящих в слово «луноход», а N – множество букв, входящих в слово «спутник». Найдите М N.
Ø Найдите объединение множества натуральных четных чисел и множества натуральных нечетных чисел.
Ø Найдите объединение множеств, k – целое число: А={8k}, В={8k+4}.
Занятие 17. «Решение задач на множества».
1. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием – 25, ходят на лыжах – 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом – 15, баскетболом и лыжами – 16, плаванием и лыжами – 18. Один человек освобожден от занятий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта? Сколько человек занимается только в одной спортивной секции?
2. Некоторая последовательность натуральных чисел состоит из чисел, кратных трем, четырем и двенадцати. Причем известно, что первых чисел 23, вторых – 42, а третьих – 11. Из скольких элементов состоит последовательность?
3. Самостоятельная работа по математике состояла из задачи и примера. Работу писали 27 учеников. Правильно решили задачу 13 учеников, а пример – 17. К сожалению, не справились с работой три ученика. Сколько учеников смогли успешно выполнить оба задания?
4. В течение некоторого времени число дождливых дней равно 10, ветреных – 8, холодных – 6, дождливых и ветреных – 5, дождливых и холодных – 3 и, наконец, дождливых, ветреных и холодных – 1. Сколько было всего дней с плохой погодой?
5.Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Домашнее задание:
Ø Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?
Ø Колхозник купил на рынке корову, козу, овцу и свинью за1325 рублей. Коза, свинья и овца вместе стоят 425 р. Корова, свинья и овца стоят вместе 1225 р., коза и свинья вместе стоят 275 р. Сколько стоит каждое животное в отдельности?
Ø Ученик за 37 коп. купил книгу, тетрадь, ручку и карандаш. Тетрадь, ручка и карандаш стоят вместе 19 коп. Книга, ручка и карандаш стоят 35 коп. Тетрадь и карандаш стоят 5 коп. Сколько стоит каждый предмет?
Занятие 18. «Подведение итогов».
1. Какие числа, записанные в четверичной системе счисления одинаковыми цифрами, записываются в двоичной системе счисления хотя и другими, но тоже одинаковыми цифрами?
2. Шутка из «автобиографии» одного математика: «Учиться я начал очень рано и уже в 33 года перешел в выпускной класс. Последний урок совпал с моим днем рождения, когда мне исполнилось 100 лет». В каком возрасте пошел в школу этот мальчик?
3. В комнате собралось 17 человек. Десять из них знают английский язык, 13 – немецкий и французский, 2 человека владеют сразу тремя языками: немецким, французским и английским. Нет ли ошибки в этих данных?
4. Как с помощью четырех кольев, двух колец и веревок заставить козу пастись на участке прямоугольной формы?
5. В четырех пакетах лежат по 5 шариков, причем в трех пакетах каждый шарик весит по 10 грамм, а в оставшемся пакете по 9 гр. Как одним взвешиванием на точных весах с гирями определить, в каком пакете более легкие шарики?
6. В самолете летят 3 пассажира: Волков, Зайцев и Медведев. Такие же фамилии у пилота, штурмана и радиста. Известно, что пассажир Волков живет в Москве, штурман живет на полпути между Москвой и Ленинградом, а пассажир – однофамилец штурмана – живет в Ленинграде. Пассажир – земляк штурмана – вдвое старше его. Зайцеву 37 лет. Медведев и радист уже 5 лет летают вместе. Установите фамилию пилота, штурмана и радиста.
7. В классе 30 учеников. 15 учеников посещают литературный кружок, 11 – биологический. Из них 4 ученика участвуют в работе обоих кружков. 5 учащихся занимаются в литературном и математическом кружках, а 3 – в биологическом и математическом. Только один ученик посещает все три кружка. Остальные учащиеся занимаются только в математическом кружке. Сколько всего учащихся занимаются в математическом кружке?
8. Найдите наибольшее четное пятизначное число, первые 3 цифры которого образуют куб натурального числа, а последние 3 цифры – квадрат натурального числа.
9. Дробь несократима. Будут ли несократимы дроби: ; ; ?
10. Число записано с помощью 30 единиц и нескольких нулей. Может ли оно быть полным квадратом?
11. Хозяева трех домов пользуются тремя колодцами. Но колодцы время от времени пересыхают. Поэтому каждый хозяин решил проложить дорожки от своего дома ко всем трем колодцам, но так, чтобы эти дорожки не пересекали дорожек соседей. Можно ли это сделать?
12. В одном поселке живет 50 школьников, а в другом 100. Где удобнее всего построить школу с таким расчетом, чтобы общий путь, проходимый всеми школьниками, был наименьшим?
Заключение
Цель дипломной работы в качестве разработки заданий для занятий математического кружка в 5-6 классах, направленная на повышение уровня математического образования и развития интереса у учащихся к математике была достигнута. На основании проведенного анализа литературы были разработаны занятия математического кружка для 5-6 классов, разработаны методические рекомендации по их использованию. На занятиях использовались различные формы работы с учащимися, обеспечивающие вовлечение их в активную учебно-познавательную деятельность, что обеспечивает формирование и развитие интереса к математике, более прочные знания программного материала, его расширение и углубление, развитие таких качеств мышления, как способность к обобщению, систематичность и последовательность мышления, умение устанавливать связи между приобретенными математическими знаниями и явлениями жизни и др.
Разработанные занятия кружковой работы по математике для 5-6 классов содержат материал как занимательного характера, так и дополняющий программу общеобразовательной школы по математике
Многие из занятий математического кружка в 5-х классах были опробованы в школе №718 г. Москвы. Наиболее интересными являлись занятия, построенные в игровой форме. Учащимся очень нравились занятия, на которых присутствовали элементы соревнований, демонстрировались математические фокусы и т.д. Так как все занятия разработаны из расчета 5 заданий за урок, то не всегда удавалось успеть прорешать и разобрать все задания, но иногда, наоборот, случалась нехватка 5 заданий на урок, т.о было разработано приложение к диплому, которое включает дополнительные задания к занятиям математического кружка для 5 класса.
Литература
1. Айзенберг М.И., Петрушин П.К. Некоторые формы внеклассной работы по математике // Математика в школе, 1985.-№5.-С. 54-55.
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1971. – 462 с.
3. Бескин Н.М. О некоторых основных принципах преподавания математики // Математика в школе, 1985.-№1.-С 59-61.
4. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989. – 287 с.
5. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах / Под ред. С.И. Шварцбурда. – М.: Просвещение, 1974. – 191 с.
6. Гарднер М. Математические чудеса и тайны / Под ред. Г.И.Шилова. – М.: Наука, 1986. – 128 с.
7. Ганчев И. Математический фольклор / И. Ганчев, К. Чимев, Й. Стоянов.- М.: Знание, 1987. – 208 с.
8. Жохов В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах: Методические рекомендации для учителя. – М.: Русское слово, 1999. – 157 с.
9. Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах: Пособие для учителей / Под. ред. Д.Б. Фукса. – М.: Мирос, 1993. – 72 с.
10. Зубелевич Г.И. Внеклассная работа по математике в 5-6 классах // Математика в школе, 1985.- №4. – С. 57-61.
11. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1980. – 79 с.
12. Кострикина Н.П. задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1986. – 96 с.
13. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников.- М.: Просвещение, 1968. – 432 с.
14. Крутецкий В.А. Проблема способностей в психологии // Актуальные проблемы в психологии. – М.: Знание, 1971. – 57 с.
15. Кузнецова Г.Б., Шарова О.П. Некоторые рекомендации для внеклассной работы по математике в 6-8 классах // Математика в школе, 1985. -№4.- С. 61-65.
16. Кухарь А.В. Некоторые пути формирования познавательного интереса у учащихся 4-5 классов // Математика в школе, 1985. - №5. – С. 21-24.
17. Ленивенко И.П. К проблеме организации внеклассной работы в 6-7 классах // Математика в школе, 1993. - №4. – С. 59-61.
18. Мардахаева Е.Л. Математический кружок в системе дополнительного математического образования учащихся 5-7-х классов основной школы: Дисс… канд. пед.н.-М., 2001.-242 с.
19. Математика: Учеб. Для 5 класса общеобразоват. учреждений // Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 6-е изд.- М.: Мнемозина, 2000. – 384 с.
20. Математика: Учеб. Для 6 класса общеобразоват. учреждений // Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 6-е изд.- М.: Мнемозина, 2000. – 304 с.
21. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 классов. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.
22. Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи / С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К.Потапов. - М.: Дрофа, 2002. – 176 с.
23. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1982. – 96 с.
24. Петровская Н.А. Вечер веселых и смекалистых в 4 классе // Математика в школе, 1988. - №3.- С. 55-59.
25. Руденко В.Н., Маркова С.Н. Математический час в 4 классе // Математика в школе, 1988.- №6.- С. 40-42.
26. Серебровская Е.К. Опыт внеклассной работы по математике. – Иркутск: Обл. Гос. Изд., 1952. – 118 с.
27. Сидорова Е.Г. Старинные задачи // Математика в школе, 1994. - №5. – С. 61-62.
28. Фоминых Ю.Ф. Принцип Дирихле // Математика в школе, 1996. - №3. – С. 35-38.
29. Фридман Л.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 288 с.
30. Шарыгин И.Ф., Шефкин А.В. Математика: Задачи на смекалку, 5-6. – М.: Просвещение. 1996. – 80 с.
31. Шевкин А.В. Школьная олимпиада по математике.- М.: Русское слово, 2002. – 32 с.
32. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1994. – 222 с.
33. Щербина К.М. Математические кружки в средней школе // Математика в школе, 1940. - №3. – С. 38 – 47.
Приложение
”Логические задачи”.
1. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?
(Ответ: Аня- в белом платье, Валя- в голубом, Галя- в зеленом, Надя- в розовом ).
2. Три друга: Алеша, Боря, и Витя - учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один - на трамвае и один – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: ”Боря, ты забыл в школе тетрадку”. Кто на чем ездит домой?
(Ответ: Алеша на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе).
3. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?
(Ответ: Вере- 5 лет, Боре- 8 лет, Ане- 13 лет, Гале- 15 лет).
4. В пионерский лагерь приехали три друга: Миша, Дима и Кирилл. Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Алиев, Малинин, Кадников. Миша не Кадников, отец Димы инженер.
Дима учится в 6-м классе. Алиев учится в 5-м классе. Отец Алиева слесарь. Какая фамилия у каждого из ребят?
(Ответ: Миша- Алиев, Дима- Малинин, Кирилл- Кадников).
5. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг, квадрат. Цвета этих фигур - зеленый, желтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зеленой и синей, справа от желтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник лежит не с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой желтого цвета?
(Ответ: желтый квадрат, зеленый ромб, красный треугольник, синий круг).
6. Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга, и Поля- участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:
1. Ольга заняла первое место, Нина- второе;
2. Ольга - второе, Поля-третье;
3. Мария - второе, Поля- четвертое.
Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая - неверна. Какое место заняла каждая из учениц?
(Ответ: Оля- 1 место, Мария- 2 место, Поля- 3 место, Нина- 4 место).
7. На острове два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, пришельцы всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец.
Проводник вернулся и сказал, что туземец назвал себя аборигеном. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?
(Ответ: проводник - абориген)
8. В одной сказочной стране поблизости один от другого находятся города А и В. Все жители города А говорят только правду, а жители города В всегда лгут. Жители этих городов ходят друг к другу в гости. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает в какой. Как он может, задав один вопрос первому попавшемуся жителю, узнать, в каком городе он находится?
(Ответ: вы житель этого города?).
9. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
1) Коля ни первое, ни четвертое;
2) Боря второе;
3) Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
10. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии»,- заметил черноволосый.«Ты прав»,- сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
11. В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?
12. Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
13. Отряд солдат должен переправиться с одного берега реки на другой, пользуясь услугами двух мальчиков и лодкой, в которой могут поместиться или два мальчика, или один солдат. Как это сделать?
14. Дедушка с тремя внуками вышел прогуляться в парк. Знакомый спросил его: сколько каждому из них лет? Ваня сказал: «Я младше Пети и мне больше 5 лет». Петя сказал: «Я младше Саши на три года», а Саша заметил: «Нам всем вместе в три раза меньше лет, чем дедушке, а вместе с дедушкой ровно 100 лет». Сколько лет каждому из внуков?
15. Четыре подруги со своими братьями пришли на каток. Оказалось, что в каждой паре кавалер выше дамы, причем никто не катается со своей сестрой. Самый высокий – Юра Воробьёв, потом – Андрей Егоров, потом – Лена Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем катался?
16. Коля, Петя и Ваня собирали грибы. Коля нашёл 10 сыроежек и столько белых, сколько подберезовиков нашел Ваня. Ваня нашел лисичек в 2 раза меньше, чем сыроежек Коля, и 3 подберезовика. Петя нашел только лисички, которых у него было больше, чем белых у Коли, но меньше, чем лисичек у Вани. Сколько грибов собрали ребята?
2 Раздел. ”Взвешивания”.
1. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
(Ответ: Кладем два кольца на весы. Если весы в равновесии, то оставшееся кольцо более легкое; если же одно кольцо перевесило, то ответ ясен).
2. меются девять пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластину?
(Ответ: Разделить пластинки на три группы по три пластинки в каждой).
3. Среди 27 монет одна фальшивая. Как найти фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая?
(Ответ: Разделить на 3 группы по 9 монет и сначала установить, в какой группе фальшивая монета).
4. Имеются двухчашечные весы и гири массой 1, 2, 4, 8, 16 грамм. На одну чашу весов кладут груз, на другую можно класть гири. Докажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна:
а) 13, 19, 23, 31 грамм;
b) любому целому числу граммов от 1 до 31 включительно.
(Ответ: а) 13=8+4+1; 19=16+2+1; 23=16+4+2+1; 31=16+8+4+2+1.
b) с помощью гирь в 1 и 2 гр легко взвесить массы в 1, 2 и3 гр; добавляя гирю в 4 гр, можем взвесить массы от 4-7 гр, добавляя гирю в 8 гр, можно взвесить массы от 8-15 гр и т.д.).
5. Имеются двухчашечные весы и гири массой 1, 3, 9, 27, 81 грамм. На одну чашу весов кладут груз, гири разрешается класть на обе чаши. Докажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна:
a)31, 52, 74, 80 гр;
b) любому целому числу граммов от 1 до 121 включительно.
6. На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песку- получилось 500 гр. И 300 гр. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 гр. Определите по этим данным вес каждого пакета.
7. Из 3 одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
3 Раздел. ”Комбинаторика”.
1. Сколькими способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных положительных целых чисел? (Представления, различающиеся порядком слагаемых, считать совпадающими).
(Ответ: 50=2+48=4+46=…=46+4=48+2, всего 24 представления, но т.к представления а+b и b+а совпадающие, то получаем 12 способов.)
2. Сколькими способами можно представить число 6 в виде суммы нечетных слагаемых? (Представления, различающиеся порядком слагаемых, считать одинаковыми).
(Ответ: 6=1+1+1+1+1+1=1+1+1+3=1+5=3+3 всего четыре способа.)
3. Любую ли сумму из целого числа рублей, большего семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами в 3 и 5 рублей?
(Ответ: да, достаточно проверить 8, 9, 10, а затем добавлять по 3 рубля.)
4. Кусок проволоки длиной 102 см. нужно разрезать на части длиной 15 и 12 см., но так, чтобы обрезков не было. Как это сделать? Сколько решений имеет задача?
(Ответ: 102=12+6*15=6*12+2*15, два решения.)
5. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?
(Ответ: 163.)
6. ри составлении расписания уроков на вторник трое преподавателей высказали пожелания, чтобы их уроки были: по математике- 1-й или 2-й; по истории- 1-й или 3-й; по литературе- 2-й или 3-й. Сколькими способами и как при составлении расписания можно удовлетворить пожелания всех преподавателей?
(Ответ: 1 способ: математика, литература, история;
2 способ: история, математика, литература.
7. Запишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была четная, а сумма всех чисел была нечетная.
(Ответ: например 1,3, 5.)
8. Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя детьми так, чтобы каждому досталось нечетное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?
9. Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 120 рублей, несколько карандашей по 8 руб. и несколько обложек для книг по 30 руб.. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 457 руб.. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он догадался, что была допущена ошибка?
10. Подпольный миллионер Тарас Артемов пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- рублевых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причем среди них не было 10- рублевых. Докажите, что его обсчитали.
11. Сколькими способами можно уплатить без сдачи 28 рублей, имея монеты 1- и 5- рублевого достоинства?
12. Алеша, Боря, Вася и Гена – лучшие математики класса. На школьную олимпиаду нужно выставить команду из трех человек. Сколькими способами это можно сделать?
13. Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого требуется?
4 Раздел. ”Геометрическая смесь”.
1. Фигуру, показанную на рисунке, нужно обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и то же ребро дважды. Если допустить, что линии могут пересекаться, то задача решается просто. Решение весьма усложняется, если пересечение линий запрещено.
(Ответ: ).
2. У треугольника, длины сторон которого- целые числа, длина одной стороны равна 5,а другой- 1. Чему равна длина третье стороны?
(Ответ: 5.)
3. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 1/6 часть, а две другие уменьшили на 1/6 часть. Как изменится площадь прямоугольника?
(Ответ: площадь уменьшится на 1/36 часть.)
4. В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га. Содержится миллион литров воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?
(Ответ: 1 га.- это 10000 кв.м=1000000 кв.дм, т.е на 1 кв.дм площади поверхности дна приходится 1 л. воды. Но 1л.=1 куб.дм.. Следовательно, глубина слоя воды 1 дм. Соревнования по плаванию проводить нельзя.)
5. Окрашенный куб с ребром в 10см. распилили на кубики с ребром в 1см. Сколько среди них окажется кубиков с одной и двумя окрашенными гранями?
(Ответ: Вдоль каждого из 12 ребер куба образуется 8 кубиков с двумя окрашенными гранями. Таких кубиков 8*12=96. Внутренний квадрат со стороной 8см. на каждой из 6 граней куба образует после распилки куба 8*8=64 кубика с одной окрашенной гранью. Всего их будет 64*6=384 кубика.)
6. Объем деревянного бруска 80 см3, ширина 4 см, высота 2 см. Длину этого бруска уменьшили на 3 см. Определить объем оставшейся части.
7. Маша собралась клеить кубики, для чего она нарисовала различные заготовки. Старший брат посмотрел её работу и сказал, что некоторые заготовки не являются развертками кубика. Из каких заготовок можно склеить кубики?
8. Сторону квадрата увеличили на 4 см и получили второй квадрат, имеющий площадь 81 см2. Найдите площадь первого квадрата.
9. У Маши был аквариум, основание которого – квадрат со стороной 24 см; уровень воды в нем достигал 36 см. Купили новый аквариум длиной 36 см, шириной 24 см. Маша перелила воду в новый аквариум. Определите уровень воды в новом аквариуме.
10. Прямоугольный параллелепипед имеет длину 1250 см, ширину 720 см, высоту 80 см. Его разрезали на кубические дециметры и разместили их в один ряд, положив в плотную друг к другу. Какой длины получился ряд?
5 Раздел. ”Цифровые задачи”.
1. Из книги выпала какая-то её часть. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней страницы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?
(Ответ: Номер последней страницы в выпавшем блоке листов- четное число, т.е. 738. Т.о. выпавший блок содержит (738-386):2=176 листов.)
2. В записи 1*2*3*4*5 звездочки замените знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
(Ответ: 1(2+3)4. 5)
3. Расставьте в записи 7*9+12:3-2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно 23 и 75.
(Ответ: (7*9+12):3-2=23; (7*9+12):(3-2)= 75.)
4. Семиклассник Петя переехал в новый пятиэтажный дом, у которого первый и второй этажи во 2-м и 3-м подъездах заняты под магазин. Все заселенные лестничные площадки дома устроены одинаково, на каждой из них находится не более четырех квартир. Номер квартиры Пети- 31. На каком этаже живет Петя?
(Ответ: на 5 этаже.)
5. Братья Алеша и Боря родились в августе. В школе начинают учиться с 7 лет. Номер класса, в котором учится сейчас старший брат Борис, равен возрасту Алеши. В какой класс перейдет Алеша, когда Борис окончит 10 классов?
(Ответ: в 5 класс.)
6. Гриша с папой пошёл в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель? (Ответ: 6 раз.)
7.Улитка каждый день вползает по стене на 7 метров вверх и ночью опускается на 4 метра вниз. На какой день она, начав от земли, достигнет крыши дома, высота которого 19 метров?
(Ответ: К началу 5-го дня улитка преодолела 12 метров и концу этого дня была на крыше дома.)
8. Заполните клетки так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15:
6 4
(Ответ: числа, между которыми лежит по 2 клетки, должны совпадать.)
9. В записи 66666666 поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно:
a) 264; б) 13332; в) 67332.
10. Как нужно расставить скобки, чтобы получить верное равенство:
a) 3248: 16- 3*315-156*2=600;
b) 350-15*104-1428:14=320.
11. В клетках таблице расставьте целые числа так, чтобы их сумма в каждой строке была ровна 35, а в каждом столбце 20. Найдите несколько решений.
12. Вася знает четыре числа, сумма которых равна 99. Если первое число увеличить на 2, второе уменьшить на 2, третье умножить на 2, а четвертое разделить на 2, то каждый раз получается одно и то же число. Найдите эти четыре числа.
13. Из некоторого числа вычли сумму его цифр, из полученного числа вычли сумму его цифр и т.д. После одиннадцатого вычитания впервые получили 0. Каким могло быть первое число?
14. Найти двузначное число, которое на 6 меньше квадрата суммы своих цифр.
15. Произведение числа на его обращенное равно 692443.Найти это число.
16. Мать поручила детям – брату и сестре – разложить конфеты так, чтобы на завтра к обеду для гостей была оставлена половина всех конфет и ещё три штуки, к завтраку для всей семьи – половина оставшихся конфет и ещё три штуки и к вечернему чаю – половина оставшихся конфет и ещё три штуки. Дети разложили конфеты в три вазы так, как велела мать, и у них осталось ещё 4 конфеты, которые им разрешили съесть. Сколько было конфет?
17. У Пети 3 брата. Первый старше его на 3 года, второй моложе на 3 года, третий моложе Пети втрое. Зато отец втрое старше Пети. Всем вместе 95 лет. Сколько лет каждому?
18. Шифр замка-автомата – семизначное число, три первые цифры которого одинаковы, остальные четыре цифры также одинаковы. Сумма всех цифр этого числа – число двузначное, первая цифра которого совпадает с первой цифрой шифра, а последняя – с последней. Найдите этот шифр.
6 Раздел. ”Числовые игры”.
1. На столе лежат 40 камешков. Двое играющих берут поочерёдно со стола камешки, причём за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Как должен поступить начинающий игру, чтобы наверняка выиграть?
2. Играют двое. Начинающий называет одно из чисел: 1, 2, 3, 4. Второй игрок прибавляет к этому числу одно из этих же чисел: 1, 2, 3, 4 и называет вслух получившуюся сумму. То же самое делает потом первый игрок и т.д. Выигравшим считается тот, кто первым назовет число 40. Как, по-вашему, кто выиграет?
3. В ящике лежат 35 шариков. Двое играющих по очереди вынимают их из ящика, причем по условию игры каждый обязан вынуть в свой ход не менее одного шарика и не более пяти. Проигравшим считается тот, кто вынужден будет своим ходом вынуть из ящика последний шар. Может ли игрок, делающий ход первым, обеспечить себе выигрыш? Каким образом?
4. На столе лежат три кучки камешков. В одной кучке 1 камешек, в другой- 2, в третьей-3. Двое играющих берут поочередно камешки, причем за один раз можно взять любое число камешков из одной кучки. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Докажите, что при правильной игре второго начинающий игру обязательно проигрывает.
5. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой:
3 5 7
9 11 13
15 17 19
6. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.
7. Разместите в свободных клетках квадрата ещё числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в сумме одно и то же число:
10
7
1 11
8. Карлсон предложил Малышу следующую игру. На столе лежат две кучки по 7 и 8 спичек. Первый делит одну из кучек на две кучки, затем второй делит одну из кучек на две кучки и т.д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода. Карлсон начинает. Кто выиграет в этой игре? Зависит ли результат от того, кто как играет, или важно лишь, кто ходит первым?
9. Заполните магический квадрат так, чтобы сумма цифр в каждом ряду по вертикали и горизонтали была равна 1000:
612 198
252
210
10. Игра «Сто»: Играют двое. Первый называет любое число от 1 до 10 включительно, второй прибавляет к этому числу ещё какое-нибудь число, не большее 10, и называет сумму; к этой сумме первый опять прибавляет какое-нибудь число, не большее 10, и т.д. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100.
7 Раздел. ”Алгебраические задачи”.
1. Я решил определить расстояние от моего дома до дома моего приятеля. Я шел равномерным шагом и полпути считал шаги парами, а полпути- тройками, причем пар получилось на 250 больше, чем троек. Сколько шагов до дома моего приятеля?
(Ответ: 3000 шагов.)
2. Самолет летел из А в B. Сначала он летел со скоростью 180 км/ч, но когда ему осталось лететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он увеличил скорость до 250 км/ч. Оказалось, что средняя скорость самолета на всем пути 200 км/ч. Определить расстояние от А до В.
(Ответ: 1120 км.)
3. Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идет в 2 раза быстрее знакомого и в 5 раз медленнее трамвая?
(Ответ: 110 сек.)
4. У двух рыбаков спросили: « Сколько рыбы в ваших корзинах?»- « В моей корзине половина числа рыб, находящихся в корзине у него, да еще 10», - ответил первый. «А у меня в корзине столько рыб, сколько у него, да еще 20»,- сказал второй. Сколько же рыб у обоих?
(Ответ: 100 рыб.)
5. Моему брату через 2 года будет вдвое больше лет, чем ему было 2 года назад, а моя двоюродная сестра через 3 года будет втрое старше, чем 3 года назад. Кто из них старше?
(Ответ: им по 6 лет.)
6. В парке живут воробьи, синицы, голуби и вороны- всего 10000 птичек. Воробьев в 10 раз больше, чем ворон; голубей на 400 больше, чем ворон; синиц на 1400 меньше, чем воробьев. Сколько, каких птичек живет в порке?
(Ответ: 5000-воробьев; 3600- синиц; 900- голубей; 500- ворон.)
7. Андрюша, Боря, Вадик и Гена разговаривали о своих книгах. Андрюша сказал: «У Гены книг в 2 раза больше, чем у меня». Боря сказал: « У меня столько книг, сколько у Андрюши и Вадика вместе». Вадик сказал: « У меня на 3 книги меньше, чем у Гены». Гена сказал: «У меня столько книг, сколько у Бори и Вадика вместе». Сколько книг у каждого мальчика?
(Ответ: Андрей-2 книги; Боря- 3 книги; Вадик-1 книга; Гена- 4 книги.)
8. Москва старше Санкт-Петербурга на 556 лет. В 1981 году Москва была втрое старше Санкт-Петербурга. В каком году основана Москва, и в каком году основан Санкт-Петербург?
9. Рыболов на вопрос, какова масса пойманной им рыбы, ответил: « Масса хвоста 1 кг, масса головы составляет столько, сколько хвост и половина туловища, а масса туловища - столько, сколько голова и хвост вместе». Найти массу рыбы.
(Ответ: 8 кг.)
10. Саша заметил, что когда он ехал в школу на автобусе, а возвращался на троллейбусе, то на весь путь было затрачено35 мин. Когда же он туда и обратно ехал на автобусе, затратил 40 мин. Сколько времени потратит Саша на путь в школу и обратно, если будет ехать на троллейбусе?
