Олимпиадные задачи для 2 класса
1. Индюк весит 12 кг. Сколько он будет весить, если встанет на одну ногу? Напиши ответ.
2. Клетка у кроликов была закрыта, но в нижнее отверстие видно было 24 ноги, в верхнее – 12 кроличьих ушей. Так сколько же было в клетке кроликов?
3. К обеду мама положила для детей на двух тарелках по одинаковому числу персиков. К вечеру на тарелках осталось: на одной 3 персика, а на второй – 8. С какой тарелки взято больше персиков и на сколько? Свой ответ объясни.
4. В комнате 4 угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки сидят по 3 кошки. Сколько всего кошек в комнате? Напиши ответ.
5. Сколько треугольников ?ожно сложить из шести спичек? Начерти ответ.
6. "Взломай” код!
Каждая буква алфавита представлена каким – то числом:
А… Е… Й… О… У… Ш… Э…
Б… Е… К… П… Ф… Щ… Ю…
В… Ж… Л… Р… Х… Ъ… Я…
Г… З… М… С… Ц… Ы…
Д… И… Н… Т… Ч… Ь…
а) Попробуй определить эти числа (найти код), если ГИД записывается как 6 12 7 и СОН как 21 18 17.
б) Попытайся при помощи этого кода прочитать слово: 16 18 15 18 7 8 26
7. Аня, Женя и Нина за контрольную работу получили разные оценки, но двоек у них не было. Отгадайте , какую оценку получила каждая из девочек, если у Ани не "3”, у Нины не "3” и не "5” (3 балла).
8. Из чисел 21, 19, 30, 25, 12, 7, 15, 6, 27 подберите такие три числа, сумма которых будет равна 50. (2 балла).
9. Разгадай ребус: АА + У = УРР (2 балла).
10. В кувшине втрое больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 12 стаканов воды меньше, чем в кувшине, Сколько воды в кувшине? (3 балла).
11. Найди сумму чисел удобным способом:
7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 =… Докажи. (2 балла)
12. В семье трое братьев. Каждый следующий младше предыдущего на 3 года. А сумма их возрастов равна 15 годам. Сколько лет каждому? (2 балла).
13. Шесть пирожных разделили между братьями и сестрами так, что у сестер их оказалось вдвое больше, чем у братьев. Сколько у кого? (2 балла).
14. У Буратино меньше 20 золотых монет. Эти монеты он может разложить в стопки по две, по три и по четыре монеты. Сколько монет у Буратино?(3 балла)
15. Запиши все двузначные числа, в которых число единиц на четыре больше числа десятков? (1 случай – 1 балл)
16. Раздели числа 2,3,4,5,6,7 на три пары так, чтобы суммы чисел каждой пары были одинаковы.( 2 балла)
17. Нарисуйте ромб и 8 овалов так, чтобы сверху от ромба было на 6 овалов меньше, чем внизу. (1 балл)
18. Три девочки на вопрос, по сколько им лет ответили так: Маша: "Мне вместе с Наташей 21 год”, Наташа: "Я моложе Тамары на 4 года”, Тамара: "Нам троим вместе 34 года”. Сколько лет каждой из девочек? (6 баллов)
19. Расставь числа от 2 до 10 так, чтобы этот квадрат стал магическим:
(4 балла)
20. На левую чашку весов положили арбуз, массой 6 кг, а на правую – дыню. Чтобы уравновесить весы, пришлось поставить на чашку с дыней еще 2 двухкилограммовые гири. На сколько кг арбуз тяжелее дыни? Во сколько раз арбуз тяжелее дыни? (3 балла)
_________________________________________________
Задания для обучающихся 2-х классов
1. Нарисуй, как из 4 палочек, не ломая их, получить 15?
2. Две девочки шли в парк, им повстречались еще пять подруг. Сколько всего девочек шли в парк? Обведи правильный ответ: 7, 5,2
3. Котенок Гав получил на день рождения подарки: тортов и кексов вместо было 7 штук, пирогов и кексов – 9, а тортов и пирогов -6.Сколько всего было подарков?
4. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? Напиши ответ.
5. Для заготовки дров было взято 3 бревна. Сколько получилось поленьев, если было сделано 15 распилов?
6. На дереве сидели четыре птички. К ним прилетели еще две птички. Кот подкрался и схватил одну птичку. Сколько птичек осталось на ветке?
Обведи правильный ответ: 3,5,4, ни одной.
7. Пользуясь только сложением, запиши число 28 при помощи пяти двоек.
8. На лужайке босоногих мальчиков столько же, сколько обутых девочек. Кого на лужайке больше – девочек или босоногих детей?
9. В стакан, кружку и чашку налили молоко, простоквашу и кефир. В кружке не кефир. В чашке не кефир и не простокваша. Что куда налили? Напиши ответ.
В кружку -------: в стакан----------: в чашку---------:
10. Квадрат, внутри которого врезан квадрат поменьше, надо разрезать на четыре одинаковые части. Найди хотя бы три решения этой задачи и начерти их.
11. Нужно упаковать несколько книг. Если их связывать по две, то останется одна лишняя книга, если по три, то - две книги, если по четыре, останется три книги. Найди наименьшее число книг, которое нужно упаковать. Напиши ответ.
12. В теремке Мышка живет выше Лягушки, но ниже Зайца, а Петух живет ниже Лягушки.
Напиши, кто на каком этаже живет.
13. На одной чаше весов 5 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чаше – 4 таких же яблока и 4 такие же груши. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша? Напиши ответ.
14. На полке было 9 книг. После того как с полки взяли несколько книг, на ней осталось 4 книги. Сколько книг взяли с полки.
15. Портной имеет кусок сукна в 16 м, от которого он отрезает ежедневно по 2 м. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок? Напиши ответ.
16. После того как со стоянки уехало 9 машин, там осталось 8 машин. Сколько машин было на стоянке сначала?
17. В коробке было 7 больших и 8 маленьких пуговиц.Из коробки взяли 9 пуговиц. Сколько пуговиц осталось в коробке?
18. Пять лет назад Саше было 4 года. Сколько лет Саше сейчас?
19. Укажи числа, состоящие только из сотен и единиц:
а)596.
б) 604.
в) 830.
г) 905:
20. Укажи ряд чисел, расположенных в порядке убывания:
а) 935, 928, 876, 729,627,604,564,357.
б) 357, 564,604,627,729,876,928,935.
21. Максим купил 9 новых марок. После того как он поместил в альбом несколько марок, у него осталось 3 марки. Сколько марок Максим поместил в альбом?
22. В корзине было 9 зеленых и 5 красных яблок. Из корзины взяли 10 яблок. Сколько яблок осталось в корзине?
23. Реши задачу. Из предложенных трех вариантов найди правильный ответ. На пришкольном участке нужно посадить 16 рядов деревьев по 6 в каждом ряду. Четвертую часть этих деревьев уже посадили. Сколько деревьев осталось посадить?
1) 24 дерева.
2) 96 деревьев.
3)72 дерева.
4) 35 деревьев.
24. Длина прямоугольника 6 см, ширина в 3 раза меньше. Чему равна сумма длин сторон прямоугольника?
а) 14 см.
б)18 см.
в) 16 см.
25. Из трех вариантов найди правильный ответ: 1|5 доля всей ткани составляет 30 метров. Сколько всего ткани в рулоне?
а) 6 метров.
б) 150 метров.
в) 30 метров.
_______________________________________________
1. (1 балл) В классе 21 ученик. Сколько потребуется парт, чтобы рассадить всех учеников?
2. (1 балл) У Нины 7 открыток, а у Кристины на 4 открытки меньше. Сколько открыток Нина отдала Кристине, если теперь у девочек равное количество открыток?
3. (2 балла) Как не совершая математических действий увеличить 66 на 33?
4. (2 балла) В городе в полдень стоит солнечная погода. Можно ли надеяться, что через 36 часов в городе будет светить солнышко, если пасмурной погоды в ближайшие три дня не ожидается?
5. (3 балла) Стороны треугольника равны трем последовательно расположенным числам. Периметр его равен 18 см. чему равна каждая сторона треугольника?
6. (3 балла) Галя, Лена и Вера собирали яблоки, груши и сливы. Каждая из девочек собирала что-то одно. Больше всего было собрано яблок. Лена не собирала груши, а Лена и Вера вдвоем собрали фруктов меньше, чем Галя. Кто что собирал?
7. (5 баллов) Трех девочек спросили, сколько им лет? Они ответили:
Маша: «Мне вместе с Наташей 21 год»,
Наташа: «я моложе Тамары на 4 года»,
Тамара: «Нам всем вместе 34 года».
Сколько лет каждой девочке?
Задания для подготовки к Олимпиадам по математике
5 класс
1. Расшифруйте пример, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам - разные: А + ВВ + А = ССС
2. Митя, Толя, Сеня, Юра и Костя пришли в музей и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он оказался бы между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конце очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех своих товарищей. Кто за кем стоит?
3. На школьной олимпиаде по математике участникам было предложено решить 6 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось по 7 очков, а за каждую нерешенную списывалось 3 очка. Сколько задач решил участник, если он набрал 12 очков? 2 очка? 32 очка?
4. Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, в записи которых цифра 5 использована хотя бы 1 раз?
5. Четыре брата Юра, Петя, Коля, Вова учатся в 1, 2, 3, 4 классах. Петя - отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком классе учится?
6. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?
1. Докажите, что число АБАБАБ делится на 7. (А, Б - цифры)
2. Средний возраст одиннадцати футболистов 22 года. Во время игры один из футболистов получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год.
Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
3. Картофель подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить картофеля на ту же сумму?
4. В шестилитровом ведре содержится 4 л. кваса, а в семилитровом - 6 л. Как разделить весь квас пополам, используя эти ведра и пустую трехлитровую банку?
5. Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет, другие три поют. Оказалось, что Анна спела больше всех песен - восемь, а Дороти спела меньше всех - пять.
Сколько всего песен спели девочки?
6. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 13/21, чтобы она после сокращения стала равна 3/4?
7. Произведение двух двузначных чисел изображено числом записанным одними семерками. Найти сомножители.
8. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое ребро увеличить на 20%?
9. Найти четыре последовательных четных числа, если известно, что сумма наименьшего и наибольшего из них равна 1202.
10. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь, сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов.
У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря, сварщика.
11. Два брата решили измерить расстояние от дома до школы шагами. Шаг старшего брата был равен 56 см, а шаг младшего 42 см.
Каково это расстояние, если они вышли одновременно из своего дома и последние их шаги совпали у школы, а всего шаги совпали 75 раз?
1. В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 1/5. На сколько процентов ее следует повысить, чтобы она достигла прежнего значения?
2. Может ли сумма шести различных положительных чисел равняться их произведению?
3. На прямой отмечены точки A, B, C, D. Известно, что AC=a, BD=b. Чему может равняться расстояние между серединами отрезков AB и CD? Укажите все возможности.
4. Найдите три последние цифры числа 62519 + 37699.
5. За круглым столом сидят граждане пяти разных стран (от одной страны может быть несколько представителей). Известно, что для любых двух стран (из данных пяти) найдутся граждане этих стран, сидящие рядом. Какое наименьшее число людей может сидеть за столом?
6. Всякий ли прямоугольник можно разрезать на 1999 частей, из которых можно сложить квадрат?
7. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и капустой. Пирожков с капустой было наибольшее количество. Причем их вдвое больше, чем пирожков с мясом. А пирожков с мясом меньше, чем пирожков с грибами. Сколько пирожков с грибами?
8. Учительница принесла в класс 111 тетрадей и раздала их поровну детям. Детей в классе больше 20, но меньше 40. Сколько детей в классе?
9. Из книги выпало несколько листов. Первая страница выпавших листов имеет номер 213, а номер их последней страницы изображается теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько листов выпало из книги?
10. На какое однозначное число, не равное 0, надо умножить 142857, чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?
11. Число яблок в корзине - двузначное. Яблоки можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?
12. Квадрат разрезали на 4 равные части и составили из них 2 квадрата. Как это сделали?
13. Какое число надо подставить вместо х в уравнение 12 : х = 7 - х, чтобы получилось верное равенство? Найдите все эти числа.
14. Нарисуй прямоугольник, площадь которого 12 см2, а сумма длин сторон 26 см.
15. Стоят 6 стаканов, первые три из них с водой. Как сделать, чтобы пустой стакан и стакан с водой чередовались? Разрешается брать только один стакан.
16. Двое имели 100 рублей. Первый израсходовал 1/2 часть своих денег, второй - 1/3 часть своих денег. После этого у них осталось 60 рублей. Сколько денег было у каждого?
17. Найти целое число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.
18. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если периметр его увеличится на 20%?
19. Первую половину пути мотоциклист проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую со скоростью 60 км/ч. Какова его средняя скорость?
20. Имеюся 12 ящиков. В некоторых из них лежат по 12 ящиков меньшего размера. В некоторых из меньших еще по 12 ящиков совсем маленького размера. Всего заполненных 39 ящиков. Найти общее число ящиков.
21. На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день, утром, подошли еще несколько человек, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих пришло дополнительно?
1. Даны три натуральных числа, ни одно из которых не делится на 3. Докажите, что найдутся среди них хотя бы два числа, разность которых делится на 3.
2. Найдите сотую цифру после запятой в десятичной записи числа 2/13.
3. На плоскости даны три точки, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую, от которой равноудалены три данные точки. Сколько таких прямых существует?
4. В прямоугольном треугольнике АВС (∠С=90°) проведены биссектрисы АД и ВЕ. Из оснований биссектрис опущены перпендикуляры ДК и ЕМ на гипотенузу. Докажите, что ∠МСК=45°.
5. Найдите двузначное число произведение цифр которого в 3 раза меньше самого числа. Если к этому прибавить 18, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
6. Найдите двузначное число, произведение цифр которого в 3 раза меньше самого числа. Если к этому числу прибавить 18, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
7. Решить уравнение (х2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0
8. Построить график функции y = ||x - 4| - 2|
9. Разложить на множители (y - z)3 + (z - x)3 + (x - y)3
10. На стороне острого угла дана точка N. Постройте на этой стороне точку М, которая одинаково удалена от точки N и от другой стороны
11. Сократить дробь (х4 + а2х2 + а4) / (х3 + а3)
12. Что меньше 51996 + 51993 или 51995 + 51994
13. Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 часов, а против течения за 6 часов. За сколько часов проплывет по течению это расстояние плот?
14.Докажите, что в любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.
15. Найдите многочлен М, если х3 + 3 - 3х - х2 = М(х2 - 3)
16. Если к двузначному числу приписать слева цифру 6, то оно увеличится в 26 раз. Найдите это число.
17. На меже длиной 632,5 м. поставлены два столба так, что первый делит всю дорогу в отношении 2:3, а второй в отношении 6:5. Найдите расстояние между столбами
18. Два пешехода выходят навстречу друг к другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км.
Если первый выйдет на два часа раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на два часа раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 часов после своего выхода.
С какой скоростью идет каждый пешеход?
19. В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание:
- Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, веревкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?
9 класс
1. Из "Арифметики" Магницкого: "Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь"
2. Квадрат числа состоит из цифр 1, 2, 3, 5. Найти его.
3. Чему равна сумма первых n нечетных чисел?
4. Известно, что число a больше числа b в n раз, а сумма чисел a и b больше их разности в m раз. Найдите сумму чисел n и m, если m и n - натуральные числа.
5. Дан угол и точка М внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.
6. Найти сумму, если Ы=Я, а остальные различные буквы соответствуют различным цифрам: ДВЕСТИ+ТРИСТА=ЯТЫСЯЧА.
7. Два всадника выезжают одновременно из А и В навстречу друг другу, и один прибывает в В через 27 минут, а другой в А через 12 минут после встречи. За сколько минут проехал каждый всадник путь АВ?
8. Решите систему из двух уравнений: 3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17
9. Может ли дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами быть равен 23?
10. Бумажный треугольник АВС перегнули по прямой, в результате вершина С попала на сторну АВ, а непокрытая часть разбилась на два равнобедренных треугольника, у которых равные стороны сходятся в вершинах А и В. Чему равнялся угол С?
11. 500 литров молока заполняют 30 бидонов емкостью 10, 15, 20 литров. Каких бидонов больше, 20-литровых или 10-литровых и на сколько?
12. При каких k множество решений неравенства x2 + kx - 1 < 0 будет интервал длины 5?
13. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника.
14. Решите уравнение |2x - 1| / (8 - x - x2) - 4 / |x2 + x - 8| = 0
15. Даны четыре натуральных числа, ни одно из которых не делится на 4. Докажите, что среди них найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 4.
16. Разложите на множители 2x × 6y × √(xy)
17. Через центр квадрата проведена прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата до этой прямой не зависит от расположения прямой.
18. Начертите два четырехугольника так, чтобы:
1) один был расположен внутри другого,
2) сумма диагоналей внутренного четырехугольника была больше суммы диагоналей внешнего четырехугольника.
10 класс
1. На доске написаны несколько двузначных чисел, каждое из которых в тысячу раз меньше суммы остальных. Сколько чисел написано на доске?
2. Докажите, что при 1 < х выполняется неравенство х + 1 - 2√х < (х - 1)2 / 4
3. В треугольнике с углом 120° стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите стороны треугольника.
4. Если 701 и 592 разделить на одно и тоже число, то получим соответственно остатки 8 и 7. Чему равен делитель?
5. Вычислить cos273° + cos247° + cos73° cos47°
6. К натуральному числу А приписали справа цифру. Получилось число, равное сумме всех натуральных чисел от 1 до А. Найдите А.
7. Сократите дробь: (х3 + 5х2 - 4х - 20) / (х2 + 3х - 10)
8. Решите систему из двух уравнений: (3x + y)2 + 2(x - y)2 = 96 и 3x + y = 2(x - y)
9. Антон, Борис и Владимир занимаются различными видами спорта: футболом, плаванием, теннисом. Кто из них каким видом занимается, если известно, что Борис и Владимир не пловцы, а Борис - не теннисист?
10. Решите уравнение (х2 - х - 1)2 - х3 = 5
11. Равнобокая трапеция ABCD разбивается диагональю AC на два равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.
12. Восстановите математическую запись примера АННА + ВАЛЯ = 4809
13. Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк - за 3 дня, а собака за 6 дней. За сколько дней они все вместе съедят овцу?
14. Решите уравнение х2/3
· 48/х2 = 10•(х/3 - 4/х)
15. Упростите выражение (6/(у2 - 9) + 1/(3 - у)) • (у2 + 6у + 9)/5
16. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый куупил пенал и тетрадь. Сколько денег заплатил четвертый школьник?
11 класс
1. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?
2.Директор школы беседует с 4 учащимися школы, подозреваемых в хищении журнала из учительской.
Александр сказал, что журнал похитил Борис.Борис утверждал, что виноват Григорий. Григорий заверил, что Борис врет, Виктор настаивал на том, что журнал взял не он.
Директору удалось установить, что один их учащихся сказал все же правду. Кто похитил журнал?
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
f(x) = x3 - x2 - x + 2, [-1, 3/2]
4. Найти максимум ab, если a + 2b = 1
5. На одной из граней двугранного угла, равного 45о, проведена прямая, составляющая угол 45о с ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью.
6. Сумма трех первых положительных членов геметрической прогрессии равна A, сумма обратных величин этих элементов равна B. Найти произведение этих трех членов.
7. Решить уравнение sin x • cos 4x • cos 6x - 1 = 0
8. Куб n x n x n разделили на единичные кубики. При каких n число кубиков, примыкающих к граням исходного куба, больше числа внутренних кубиков?
9. Решите уравнение sin 9x + ½ sin (3x + π/2) = √3 /2 • sin (3x + π)
10. Известно, что x + 1/x = 5. Найдите x2 + 1/x2
11. Решите уравнение sin x • cos x • cos 2x • cos 8x = ¼ sin 12x
12. Вычислить sin(arccos 2/7), arccos(cos 10)
13. Сколько диагоналей в правильном семиугольнике?
14. Решите уравнение (x2 - x -1)2 - x3 = 5
15. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис, Алла.
Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей.
В каком порядке стоят ребята?
16. Среди 81 монеты 1 фальшивая (более легкая), как её найти, используя не более 4 взвешиваний?
17. Найдите производную функции y = (x - 6) • x3
